HDU6069 Counting Divisors(素数筛+二次筛)

Counting Divisors

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Problem Description

In mathematics, the function  d(n)  denotes the number of divisors of positive integer  n .

For example,  d(12)=6  because  1,2,3,4,6,12  are all  12 's divisors.

In this problem, given  l,r  and  k , your task is to calculate the following thing :

(∑i=lrd(ik))mod998244353

 

Input

The first line of the input contains an integer  T(1≤T≤15) , denoting the number of test cases.

In each test case, there are  3  integers  l,r,k(1≤l≤r≤1012,r−l≤106,1≤k≤107) .

 

Output

For each test case, print a single line containing an integer, denoting the answer.

 

Sample Input

  
  

   
   3
1 5 1
1 10 2
1 100 3
  
  

 

Sample Output

  
  

   
   10
48
2302
  
  

 

题意： 给你l,r,k求，在l到r区间中每一个数的k次幂的因子个数和

思路：

根据唯一分解定理，任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3......Pnan那么他的因子的个数就为d(N)=(a1+1)*(a2+1)*……*(an+1)那么

d(N^k)=(ka1+1)*(ka2+1)*….*(kan+1)

首先我们先预处理一遍0~√r的素数

然后我们先找到l~r中第一个含有为因子prime[i]的数，对于l必有l=k*prime[i]+r,若r为0则l就为第一个数，若r不为0，那么第一个数一个数(k+1)*prime[i]，其中k=l/prime[i]，l对prime[i]取模就知道r为不为0了，然后我们这个数进行对prime[i]的分解，就知道他之中有几个prime[i]了

那么下一个含有prime[i]为因子的数就应该是他加上prime[i]这个数，对他进行同样的操作

两遍循环后所有从l~r的数都分解完毕，这些数要么是1要么是一个大于√r的素数，所以对不为1的数我们要多乘一个(k+1)来表示这个素数也参与组合

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
const int mod=998244353;
int tot,t;
long long prime[maxn];
bool vis[maxn];
long long l,r,k,ans;
long long a[maxn],cnt[maxn];
void init(){//素数筛打表
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i])
            prime[tot++]=i;
        for(int j=0;j<tot;j++){
            int k=i*prime[j];
            if(k>maxn)break;
            vis[k]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
        ans=0;
        if(l==1) ans++,l++;
        for(int i=0;i<=r-l;i++)//将范围左移到从0开始
        {
            a[i]=l+i;
            cnt[i]=1;
        }
        for(int i=0;prime[i]*prime[i]<r;i++)
        {
            long long j;
            if(l%prime[i]==0)//找出范围内第一个含有prime[i]因子的数
                j=l/prime[i];
            else
                j=l/prime[i]+1;
            for(j=j*prime[i];j<=r;j+=prime[i])
            {
                long long tmp=0;
                while(a[j-l]%prime[i]==0)
                {
                    a[j-l]/=prime[i];
                    tmp++;
                }
                cnt[j-l]*=(k*tmp)%mod+1;
                cnt[j-l]%=mod;
            }
        }
        for(int i=0;i<=r-l;i++)
                {
                    if(a[i]!=1) ans+=((k+1)*cnt[i])%mod;//处理剩下的素数因子
            else ans+=cnt[i];
            ans%=mod;
                }
                printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}