矩阵链乘法

1.问题

[描述算法问题，首选形式化方式（数学语言），其次才是非形式化方式（日常语言）]
给定n个矩阵的链<A 1 ,A 2 ,…,A n >，其中i=1,2,…,n，矩阵A i的维数为p i-1 ×p i 。计算乘积A1 A2 …A n 所需的标量乘法次数最小。

2.解析


动态规划
Ai表示矩阵链相乘的子问题;m[i]：表示得到乘积Ai所用的最少基本运算次数；假定，最后一次相乘发生在矩阵链Ai…k和Ak+1…j之间，即

对于i=j的情况下，显然有m=0，不需要做任何标量乘法运算。所以，对于所有的i=1、2…n，m[i，i] = 0.

当i < j的情况，就按照最优括号化方案的结构特征进行计算m[i,j]。

3.设计

n=p.length-1
Let m[1…n,1…n]and s[1…n-1,2…n]
For i=1 to n //文艺长度规模
m[i,i]=0
For l=2 to n
For i=1 to n+1-l
J=i-1+l //终点
M[i,j]=10000
For k=i to j-1
d= m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1pkpj
If d<m[i,j]
M[i,j]=d f[i,j]=k
Return m

4.分析

时间复杂度：O（n^3）

5.源码

#include<stdio.h>
#include
#include <stdlib.h>
#define MAX 1000
#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;
int p[MAX];
int F[MAX][MAX];
int s[MAX][MAX];
void chain(int i,int j);
int main(){
int l;
int t;
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&p[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
F[i][i]=0;
}

for( l=2;l<=n;l++){
	for(int i=1;i+l-1<=n;i++){
		int j=i+l-1;
		F[i][j]=INF;
		for(int k=i;k<j;k++){
			  t=F[i][k]+F[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
			if(t<F[i][j]){
				F[i][j]=t;
				s[i][j]=k;
			}
		}
	}
}
	printf("\n");
	chain(1,n-1);	printf("\n");
	printf("\n");
printf("返回%d\n",F[1][n-1]);

}
void chain(int i,int j){
if(i==j)
printf(“A%d”,i);
else{
printf("(");
chain(i,s[i][j]);
printf("*");
chain(s[i][j]+1,j);
printf(")");
}
}