【数论】HDU5597 GTW likes function 的详细证明

原创已于 2023-07-16 16:44:01 修改 · 134 阅读

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#算法 #c++

于 2023-07-16 16:33:11 首次发布

文章讨论了一个关于数论的递归函数(f_n(x))，证明了(f(x)=x+1)，并给出了计算(varphi(f_n(x)))的方法，其中(varphi)是欧拉函数。通过递推关系简化了计算过程，最后提供了一个C++代码片段用于求解给定输入的欧拉函数值。

【数论】

已知 $f0(x)=∑k=0x(−1)k⋅22x−2k⋅C2x−k+1kf_0(x)=\sum\limits_{k=0}^x(-1)^k\cdot 2^{2x-2k}\cdot\text C_{2x-k+1}^k$ ，且对于 $n≥1n\ge1$ ，有 $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$ 。

$(1≤T≤103)T\ (1\le T\le 10^3)$ 组数据，给定 $(1≤n,x≤1012)n,x\ (1\le n,x\le 10^{12})$ ，求 $φ(fn(x))\varphi(f_n(x))$ 。

建议改为：【模板】求 $φ(x)\varphi(x)$ 。

先证 $f (x) = x + 1$ （这里 $f$ 默认指 $f_0$ ）：

【证明】 首先，

$\begin{aligned} f(n)&=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\text C_{2n-k+1}^k\\&=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\left(\text C_{2n-k}^k+\text C_{2n-k}^{k-1}\right)\\&=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\text C_{2n-k}^k-\sum\limits_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cdot 2^{2(n-1)-2k}\cdot\text C_{2(n-1)-k+1}^{k}\\&=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\text C_{2n-k}^k-f(n-1)\\&=g(n)-f(n-1) \end{aligned}$

另外，下面的关键问题是研究 $g (n)$ ，即

$\begin{aligned} g(n)&=2^{2n}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\left(\text C_{2n-k-1}^k+\text C_{2n-k-1}^{k-1}\right)+(-1)^n\\&=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\text C_{2n-k-1}^k+\sum_{k=1}^n(-1)^k\cdot 2^{2n-2k}\cdot\text C_{2n-k-1}^{k-1}\\&=4\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cdot 2^{2(n-1)-2k}\cdot\text C_{2n-k-1}^k-\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\cdot 2^{2(n-1)-2k}\cdot\text C_{2(n-1)-k}^{k}\\&=4f(n-1)-g(n-1) \end{aligned}$

联立上述两式，易得 $f (x) - f (x - 1) = C$ （常数）。

考虑到 $f (0) = 1, f (1) = 2$ ，所以 $f (x) = x + 1$ ，证毕。

所以 $f_n(x)=x+n+1$ 。

直接求就可以了，理论复杂度 $O(Tx)O(T\sqrt{x})$ ，实际上跑不满。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

#define N 1000010
#define ll long long

using namespace std;

inline ll rd(){
	char c;
	bool flag = false;
	while((c = getchar()) < '0' || c > '9')
	    if(c == '-') flag = true;
	ll res = c - '0';
	while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
	    res = (res << 3) + (res << 1) + c - '0';
	return flag ? -res : res;
}

inline ll phi(ll n) {
	ll ans = n;
	for(ll i = 2 ; i * i <= n ; i++)
		if(n % i == 0){
		ans = ans / i * (i - 1);
		while(n % i == 0) n /= i;
	}
	if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
	return ans;
}

ll x, n;

int main(){
    while(~scanf("%lld%lld", &x, &n))
        printf("%lld\n", phi(x + n + 1));
    return 0;
}