期权价格上下限 | 数学推导 & 直观理解

记欧式看涨和看跌的价格分别为 $c,p$，美式看涨和看跌的价格为 $C,P$。本文假设不含股息

欧式上限

对看涨期权$c$，一定有$c\le S$，即期权价格小于标的资产价格。很简单，欧式call的目的就是为了在$T$时刻得到标的资产，假如当前的$c$比$S$还大，那还不如直接现在买入股票并持有到$T$

从数学角度看，买入期权$c$和买入标的资产$S$在$T$时刻的收益分别为$\max (S_T-K,0)$和$S_T$，显然期权的$T$时刻收益 小于等于 标的资产的$T$时刻收益，因此折到当前时刻也得有$c\le S$，否则会产生套利机会

对看跌期权$p$，一定有$p\le K{e}^{-r\tau }$。直觉上也很简单，一个欧式看跌期权在$T$时刻收益最多就是$K$，折到当前时刻就是$K{e}^{-r\tau }$，怎么可能花比这更多的钱来买入这个权利

欧式下限

对欧式看涨期权$c$，有$c\ge \max (S-K{e}^{-r\tau },0)$。对欧式看跌期权$p$，有$p\ge \max (K{e}^{-r\tau }-S,0)$。$c$和$p$都大于0很显然，下面证明剩下的部分
数学证明很简单，两种方法

• 一是put-call parity，$c+K{e}^{-r\tau }=p+S$，由$c$和$p$大于0可以推出$c\ge S-K{e}^{-r\tau },p\ge K{e}^{-r\tau }-S$
• 方法二：
  假设要证明$c\ge S-K{e}^{-r\tau }$，也就是$c+K{e}^{-r\tau }\ge S$，那就构造2个投资组合，然后看它们的terminal payoff哪个大。
  组合一：买入欧式看涨期权，并买入一个面值为$K$的0息债券。该组合当前的价值为$c+K{e}^{-r\tau }$，那么到了$T$时刻，payoff为$\max (S_T-K,0)+K=\max (S_T,K)$
  组合二：买入标的资产，该组合当前的价值为$S$，那么到了$T$时刻，payoff为$S_T$
  显然，组合一的terminal payoff大于组合二，因此当前价格应该也大于组合二，即$c+K{e}^{-r\tau }\ge S$

对看跌，要证明$p\ge K{e}^{-r\tau }-S$，即$p+S\ge K{e}^{-r\tau }$。类似的，还是考虑2个组合
组合一： 买入看跌期权和标的资产，该组合当前的价值为$p+S$，到了$T$时刻的payoff为$\max (K-S_T,0)+S_T=\max (K,S_T)$（有没有很眼熟？没错，这个组合就是protective put）
组合二：买入一个面值为$K$的0息债券，该组合当前价值为$K{e}^{-r\tau }$，$T$时刻payoff为$K$
于是组合一的terminal payoff大于组合二，因此组合一的当前价值也大于组合二的当前价值，即$p+S\ge K{e}^{-r\tau }$

那么怎么直观理解$c$和$p$的下限呢。实际上，$c\ge S-K{e}^{-r\tau }$的意思是，为了在$T$时刻获得大于等于$S_T-K$的收益，当前必须付出大于等于$S-K{e}^{-r\tau }$的代价。这是符合直觉的，因为如果要在$T$时刻正好获得$S_T-K$的收益，可以在当前买入标的资产，然后借入$K{e}^{-r\tau }$的钱（当前一共花$S-K{e}^{-r\tau }$），这样到了$T$时刻，一定可以有$S_T-K$的收益（手里持有的标的资产价格为$S_T$，然后还钱还了$K$）。而欧式期权会获得大于等于$S_T-K$的$T$时刻收益，因此一定大于仅仅获得了$S_T-K$的$T$时刻收益的当前代价，即$S-K{e}^{-r\tau }$
由此也可以看出，欧式call的价格一定$c\ge S-K{e}^{-r\tau }\ge S-K$，即大于内在价值，因此不含股息的欧式call的时间价值一定大于0

对看跌也是一样的，为了在$T$时刻获得大于等于$K-S_T$的收益，当前必须付出大于等于$K{e}^{-r\tau }-S$的代价。因为当前如果借出$K{e}^{-r\tau }$的钱并short标的资产，即付出$K{e}^{-r\tau }-S$的代价，则可以在$T$时刻获得$K-S_T$的收益（收到还的钱，并入买标的资产平之前的short仓位）。而看跌期权会获得大于等于$K-S_T$的$T$时刻收益，因此一定大于仅仅获得了$K-S_T$的$T$时刻收益的当前代价，即$K{e}^{-r\tau }-S$
可见$p\ge K{e}^{-r\tau }-S$并不能保证$p\ge K-S$，因此不能从这里证明欧式put的时间价值一定为正。事实上，深度价内的欧式put可能会出现负的时间价值

美式看跌期权上下限

对无股息的美式call，由于不会提前行权，其价格和欧式call一样

而对美式put，由于可以提前行权，其价格一定高于其内在价值$\max (K-S,0)$，然后低于其最大收益$K$，因此对美式put，有$\max (K-S,0)\le P\le K$