实用算法实现-第 8 篇后缀树和后缀数组 [4 最长回文子串]

8.5 最长回文子串

定义字符串S的逆序为S’，有S’[i]=S[n - i - 1](0 ≤ i < len(S)，下文所有i处于这个区间内)。其中len(S)为S的长度。如果S和S’相同，则称S为回文串（Palindrome）。S的最长回文子串就是S的所有子串中是回文串且长度最长的字符串。

定义Suffix(S, i)为S以S[i]开头且包含S[i]的后缀字符串。

定义Prefix(S, i)为S以S[i]结尾且包含S[i]的后缀字符串。

令n = Len(S)

可知有如下性质：

1. Len(S’) = Len(S) = n;

2. Len(Suffix(S, i)) = Len(S) - i;

3. Len(Prefix(S, i)) = i;

4. Prefix(S, i) = Suffix’(S’, len(S) - i- 1);

5. Suffix(S, i) = Prefix’(S’, len(S) - i- 1);

6. (S’)’ = S.

要求S的最长回文子串，可以对i在区间[0, len(S))内枚举，找出以S[i]为中心字符的最长回文子串。所有这些回文子串中最长的那个就是S的最长回文子串。

求以S[i]为中心字符的最长回文子串的问题可以描述为：

求一对下标(j, k)，满足下列条件：

1. 0 ≤ j ≤ i, i ≤ k < len(S)。因为j，k是S的下标，且一个比i小，一个比i大。

2. i - j = k - i = x。因为所求字符串以S[i]为中心字符。

3. Suffix’(Prefix(S, i), j) = Prefix(Suffix(S,i), k - i) = T。因为所求字符串为回文字符串。

4. x最大

可知在满足条件1的情况下，有：

Suffix’(Prefix(S, i), j)

= Prefix’’(Prefix’(S, i), Len(Prefix(S,i)) - j - 1) 性质5

= Prefix’’(Prefix’(S, i), i + 1 - j - 1) 性质3

= Prefix(Prefix’(S, i), i - j) 性质6

= Prefix(Suffix’’(S’, Len(S) - i - 1), i- j) 性质4

= Prefix(Suffix(S’, Len(S) - i - 1), i -j) 性质6

= Prefix(Suffix(S’, Len(S’) - i - 1), i -j) 性质1

= Prefix(Suffix(S’, n - i - 1), i - j)

所以第三个条件转化为：

Prefix(Suffix(S’, n - i - 1), i - j) = Prefix(Suffix(S,i), k - i)

又由于有条件2，进一步写为：

Prefix(Suffix(S’, n - i - 1), x) =Prefix(Suffix(S, i), x) = T

观察该条件，可知T是Suffix(S, i)和Suffix(S’, n - i - 1)的公共前缀。进一步地，要满足条件4，使x最大，就是使得公共前缀T最长。该最大公共前缀就是所求的以S[i]为中心字符的最长回文子串。

而求一个串的两个后缀的最长公共前缀正是后缀数组所擅长的事情，后缀数组可以在线性的预处理时间后支持O(1)的LCP询问。

所以求以S[i]为中心字符的最长回文子串的方法即为：构建字符串W = S?S'，其中?是S的字符表中不存在的字符。在W中，S[i]对应W[i]，S'[n - i - 1]对应W[n + 1 + n - i - 1] = W[2n - i]。故此SA[rank(i)]和SA[rank(2n - i)]的最长公共前缀就是最长回文子串，LCP(rank(i), rank(2n- i))就是最长回文子串的长度max(x)。