MVG读书笔记——三维空间中的射影几何(一）

前面讲了2D情况下的射影几何和射影变换，我们用到更多的则是3D情况下的射影几何。这里只需对一些概念进行推广即可。

三维齐次坐标

对$IP^3$中的点我们使用一个4元组$X=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$表示,它与非齐次坐标(X,Y,Z)的关系是

$$X=\frac{x_1}{x_4},Y=\frac{x_2}{x_4},Z=\frac{x_3}{x_4}$$

单应矩阵

在$IP^3$中的变换可以用一个$4\times4$的矩阵H表示。即$X'=HX$

平面

三维空间中的平面可以写成

$$\pi_1X+\pi_2Y+\pi_3Z+\pi_4=0$$
考虑到只有系数间的比例关系是有意义的，它的自由度为3。在齐次空间中可以用一个4维向量表示，即 $\pmb{\pi} = (\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4)^T$
（通过替换非齐次坐标）写成平面方程形式为 $$\pi_1x_1+\pi_2x_2+\pi_3x_3+\pi_4x_4=0$$
即 $$\pmb{\pi^T}X=0$$
$\pmb\pi$的前三个系数对应着欧氏几何中平面的法线，使用非齐次坐标表示就是 $n\cdot \tilde{X} +d=0$。其中 $n = (\pi_1,\pi_2,\pi_3)^T,\tilde X=(X,Y,Z)^T,x_4=1,d=\pi_4$。在此形式下， $|d|/||n||$是平面到原点的距离。

三点确定一个平面

设有三个不共线的点$X_1,X_2,X_3$，他们都在平面$\pi$上，则有$\pi^TX_i=0,i=1,2,3$
因此

$$\begin{bmatrix}X_1^T\\X^T_2\\X^T_3\end{bmatrix}\pi=0$$
$X_1,X_2,X_3$不共线，故他们线性不相关，因此它们构成的 $3\times 4$矩阵的秩为3。 $\pi$可以从该矩阵的零空间得到。

在二维平面中我们通过$l=x_1\times x_2$来确定一条直线，类似的，我们也能用更简单的方法由三点确定一个平面。

首先我们定义一个矩阵$M=[X,X_1,X_2,X_3]$。其中X为空间中任意一点。$X_1,X_2,X_3$为用来确定平面$\pi$的3点。

显然，对于平面上一点$X=[x_1,x_2,x_3,x_4]$,它必能被$X_1,X_2,X_3$线性表出，从而有det M = 0。

从第一列对det M展开有$det M =x_1D_{234}-x_2D_{134}+x_3D_{124}-x_4D_{123}$ 。其中$D_{jkl}$是由矩阵$[X_1,X_2,X_3]$的jkl行组成的新矩阵。由于det M = 0,可以得到

$$\pi = (D_{234},-D_{134},D_{124},-D_{123})^T$$
这也是之前平面所满足的方程的解。

将空间点X表示为$X=[\tilde{X}~~1]^T$,$\tilde{X}=[x~y~z]^T$。则有

$$D_{234}=\begin{vmatrix}Y_1-Y_3&Y_2-Y_3&Y_3\\Z_1-Z_3&Z_2-Z_3&Z_3\\0&0&1\end{vmatrix}=((\tilde{X_1}-\tilde{X_2})\times(\tilde{X_2}-\tilde{X_3}))_1$$
对其他的系数也有相似的结果，于是
$$\pi=\begin{bmatrix}(\tilde{X_1}-\tilde{X_2})\times(\tilde{X_2}-\tilde{X_3})\\-\tilde{X^T_3}(\tilde{X_1} \times \tilde{X_2})\end{bmatrix}$$
其中 $(\tilde{X_1}-\tilde{X_2})\times(\tilde{X_2}-\tilde{X_3})$为平面的法线。

平面的射影变换

$\pi'=H^{-T}\pi$

平面的参数方程表示

对平面$\pi$上一点X可以使用参数方程表示，即

$$X=Mx$$
x为自变量，M为与 $\pi$对应的参数，有 $\pi^TM=0$。设 $\pi=(a,b,c,d)^T$，则它的参数矩阵的转置 $M^T=[p|I_{3\times3}],p=(-b/a,-c/a,-d/a)^T$