MVG读书笔记——射影几何下的直线

引入齐次坐标之后我们可以得到直线的表示方式。一条直线上的点满足方程ax+by+c=0。由此，我们可以用一个向量l=$[a,b,c]^T$来表示一条直线。

判断点在直线上（直线过一点）

对一点$x=[x_1,x_2,1]^T$，使用直线方程可以很简单的判断点是否在直线上。通常使用向量形式，即$x\cdot l=0$。

直线的交点

两条直线$l,l'$的交点$x = l\times l'$。证明如下：
$x\cdot l = l \times l' \cdot l=0$，x在直线$l$上
$x\cdot l' = l \times l' \cdot l'=0$，x在直线$l'$上

求解过两点的一条直线

知道两点$x,x'$可以确定一条直线$l=x\times x'$。证明同上，只需把x与l互换。

对偶性

由上面的讨论可以可以发现，直线与点存在某种对应的关系。事实上，在齐次坐标下，对于任何一条定理，将其中点与直线进行互换，定理依然成立，这叫做直线与点的对偶性。

无穷远点

使用上面直线交点的公式，我们发现我们可以求解平行直线的交点。设两个平行直线$l=[a,b,c]^T$$l'=[a,b,c+d]^T$

则它们的交点$x = l\times l'=[bd,-ad,0]^T=[b,-a,0]^T$

即它们相交与无穷远点x。且方向为向量$[b,-a]^T$所指的方向。这也是这两条直线的朝向。顺便，$[a,b]^T$是直线的法向。这是直线方程的几何意义。

x称为ideal point。引入了无穷远点之后，我们可以说在$IP^2$空间两条直线总相交于一点。

无穷处的直线

对于两个无穷远点$x=[a,b,0]^T,x'=[c,d,0]^T$，我们也可以求出过它们的交线。
显然$l=x\times x'=[0,0,ad-bc]^T=[0,0,1]^T$。
可以看到，l与$x,x'$的具体坐标无关。即所有无穷远点都在一条直线l上。

如何对待无穷远处的情况

射影几何原则上不对无穷远和有限处的情况进行区分，但是实际应用中，有时候分情况讨论反而可以简化问题，在这些情形下，我们把无穷远点看作一种特殊情况。