数学答案(数列、极限、数学归纳法)-[仅供内部参考]

仅供内部参考
注：符号“/”表示分数线，如3/2 表示三分之二

(A)组

一、选择题

1~5: AABDC 6~10: DCCCB

 

二、填空题

(1) 2/3

(2) 60

(3) 3ⁿ-1

(4) 12或-42

(5) b₁·b₂·b₃· … ·b_n=b₁·b₂· … ·b_17-n   n=1,2,3,…,16

 

(B)组

解答题：

(1) 解：(Ⅰ) ∵a₁+a₂+a₃=3a₂=12 ∴ a₂=4, d=a₂-a₁=2

   则 a_n=a₁+(n-1)d=2+2(n-1)=2n

   (Ⅱ) S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n=2x+4x²+…+2(n-1)x^n-1+2nxⁿ

   当x≠0且x≠1时 xS_n=2x²+4x³+…+2(n-1)xⁿ+2nxⁿ⁺¹

   S_n-xS_n=2x+(4-2)x²+(6-4)x³+…+[2n-2(n-1)]xⁿ-2nxⁿ⁺¹

   (1-x)S_n=2x+[2x²(1-x^n-1)/(1-x)]-2nxⁿ⁺¹

   S_n=2x/(1-x) + [2x²(1-x^n-1)/(1-x)²] – 2nxⁿ⁺¹/(1-x)

   当 x=1 时 b_n=a_n 则 S_n=n(a₁+a_n)/2=n(2+2n)/2=n²+n

   当 x=0 时 S_n=0

 

(2) 解：(Ⅰ) a₁=S₁=2-a₁ → a₁=1

   a₂=S₂-a₁=2×2-a₂-1=3/2

   a₃=S₃-a₁-a₂=2×3-a₃-(3/2)-1=7/4

   a₄=S₄-a₁-a₂-a₃=2×4-a₄-1-(3/2)-(7/4)=15/8

   (Ⅱ) 猜想 a_n=(2ⁿ-1)/2^n-1

当 n=1 时 a₁=(2¹-1)/(2^1-1)=1 成立.

设当 n=k 时成立，当 n=k+1 时 由 S_n-S_n-1=a_n=(a_n-1+2)/2 知

a_k+1=(a_k+2)/2 = {[(2^k-1)/2^k-1] + 2}/2=[(2^k-1)/2^k]+1=(2^k·2-1)/2^k=(2^k+1-1)/2^k=(2^k+1-1)/2^(k+1)-1

综上所述，猜想成立。∴a_n=(2ⁿ-1)/2^n-1

 

(3) 证明：(Ⅰ) S₁=a₁=1; S₂/2=2; S₃/3=4… 猜想{S_n/n}是以2为公比的等比数列.

   当 n=1 时 [S_n+1/(n+1)]/(S_n/n)=(S₂/2)/(S₁/1)=2 成立.

   设 n=k 时成立，则 [S_k+1/(k+1)]/(S_k/k)=2 → (S_k+1·k)/[S_k·(k+1)]=2

   当 n=k+1 时 [S_k+2/(k+2)]/[S_k+1/(k+1)]= [S_k+2·(k+1)]/[S_k+1·(k+2)]= (S_k+1·k)/[S_k·(k+1)]=2 成立.

   ∴{S_n/n}是以2为公比的等比数列

 (Ⅱ) [S_n+1/(n+1)]/[S_n-1/(n-1)]=4 → S_n+1/S_n-1=4·(n+1)/(n-1) → S_n+1=4·[(n-1)+2]/(n-1)·S_n-1=4a_n

 

(4) 解：(Ⅰ) 由a₃=a₁+2d=7 及 S₄=4a₁+(4×3/2)d=24 得 d=2, a₁=3 → a_n=3+2(n-1)=2n+1

证明：(Ⅱ) S_p+q=3(p+q)+(p+q)(p+q-1)/2·2=p²+q²+2pq+2p+2q

(S_2p+S_2q)/2=[3·2p+2p(2p-1)/2·2+3·2q+2q(2q-1)/2·2]/2=2p²+2q²+2p+2q

∵p≠q 且 p>0, q>0

∴S_p+q-(S_2p+S_2q)/2=-p²-q²+2pq<-2pq+2pq=0

即有 S_p+q<(S_2p+S_2q)/2