向量的旋转证明

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基础的2-D绕原点旋转 

在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系：

　　x0 = |R| * cosA

　　y0 = |R| * sinA

　　=>

　　cosA = x0 / |R|

　　sinA = y0 / |R|

　　在右图中，我们有关系：

　　x1 = |R| * cos（A+B）

　　y1 = |R| * sin（A+B）

　　其中（x1， y1）就是（x0， y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到

　　x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）

　　y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）

　　现在把

　　cosA = x0 / |R|

　　sinA = y0 / |R|

　　代入上面的式子，得到

　　x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|）

　　y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|）

　　=>

　　x1 = x0 * cosB - y0 * sinB

　　y1 = x0 * sinB + y0 * cosB

　　这样我们就得到了2-D迪卡尔坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式。顺时针旋转就把角度变为负：

　　x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B）

　　y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）

　　=>

　　x1 = x0 * cosB + y0 * sinB

　　y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB

　　现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式，有一个概念我简单提一下，平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。好了，打住，不然就跑题了。

所以2-D旋转变换矩阵就是：

[cosA  sinA]      [cosA -sinA]
[-sinA cosA] 或者 [sinA cosA]

　　我们对点进行旋转变换可以通过矩阵完成，比如我要点（x， y）绕原点逆时针旋转：

          [cosA  sinA]
[x, y] x  [-sinA cosA] = [x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]
为了编程方便，我们把它写成两个方阵

[x, y]   [cosA  sinA]   [x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]
[0, 0] x [-sinA cosA] = [0              0            ]

也可以写成 

[cosA -sinA]   [x 0]   [x*cosA-y*sinA  0]
[sinA  cosA] x [y 0] = [x*sinA+y*cosA  0]

三、2-D的绕任一点旋转

　　下面我们深入一些，思考另一种情况：求一个点围绕任一个非原点的中心点旋转。

　　我们刚刚导出的公式是围绕原点旋转的公式，所以我们要想继续使用它，就要把想要围绕的那个非原点的中心点移动到原点上来。按照这个思路，我们先 将该中心点通过一个位移向量移动到原点，而围绕点要保持与中心点相对位置不变，也相应的按照这个位移向量位移，此时由于中心点已经移动到了圆点，就可以让 同样位移后的围绕点使用上面的公式来计算旋转后的位置了，计算完后，再让计算出的点按刚才的位移向量 逆 位移，就得到围绕点绕中心点旋转一定角度后的新位置了。看下面的图



现在求左下方的蓝色点围绕红色点旋转一定角度后的新位置。由于红色点不在原点，所以可以通过红色向量把它移动到原点，此时蓝色的点也按照这个向量移动，可 见，红色和蓝色点的相对位置没有变。现在红色点在原点，蓝色点可以用上面旋转变换矩阵进行旋转，旋转后的点在通过红色向量的的逆向量回到它实际围绕下方红 色点旋转后的位置。
在这个过程中，我们对围绕点进行了三次线性变换：位移变换-旋转变换-位移变换，我们把它写成矩阵形式：
设红色向量为（rtx， rty）

[x y 1]   [1   0   0]   [cosA  sinA 0]   [1    0    0]   [x' y' -]
[0 1 0] x [0   1   0] x [-sinA cosA 0] x [0    1    0] = [-  -  -]
[0 0 1]   [rtx rty 1]   [0     0    1]   [-rtx -rty 1]   [-  -  -]

　　最后得到的矩阵的x'和y'就是我们旋转后的点坐标。


三维空间刚体运动2：旋转向量与罗德里格斯公式（最详细推导）
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