LCA最近公共祖先（倍增法）

               公共祖先：在一颗树上，若节点是c是a的祖先也是b的祖先就为a和b的公共祖先

               最近公共祖先：在a和b的所有公共祖先中深度最大的成为最近公共祖先，lca(a,b),least commom ancestor.

        首先，介绍一下朴素的算法，如果要找到a和b的最近公共祖先，我们令a的深度大于b的深度，然后从a开始一部一部往上走，知道a和b在同一高度，然后我们再继续让a和b同时往上走，直到俩个点为同一点。

然而这总算法的时间复杂度为n，如果有n组询问时间复杂度为n^2,大部分情况下肯定是会T的。所以就有了倍增法，也基于这种方式，做了一个二进制的优化。使时间复杂度为nlogn;

每一次我们向上跳都跳2的x次方，可以更加快速的达到，这里我们要维护俩个数组，fa[i][j],指的是从i点往上跳2^j次方所能达到的点，根据地推可以得到，fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];,还要维护一个depth数组，表示某节点的深度。具体细节代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double D;
const int N =5e6+10;
typedef pair<int,int>Pii;
int e[N],ne[N],h[N],idx;
int depth[N],fa[N][20];//深度和i节点往上跳2的j次方所能到达的点
void add(int a,int b){
  e[idx]=b;
  ne[idx]=h[a];
  h[a]=idx++;//链式前向星建图
}
void dfs(int u,int f){
  depth[u]=depth[f]+1;
  fa[u][0]=f;//记录父节点
  for(int i=1;(1<<i)<=depth[u];i++){//往上跳不能超过深度
    fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];//关键，u节点往上跳2^i-1到达的点再跳2^i-1
  }//通过递归
  for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){
    int v=e[i];
    if(v==f)continue;
    dfs(v,u);
  }
}
int lca(int a,int b){
  if(depth[a]<depth[b])swap(a,b);//让a处于更底层
  //让x和y跳到同一层，这里运用到了一个用2进制数拼凑的思想
  //类似于9 在二进制数中1，2，4，8，16
  //找到第一个比9小的数，9-8=1
  //继续找1-1=0；
 
  for(int i=19;i>=0;i--){
   
    if(depth[fa[a][i]]>=depth[b]){
        a=fa[a][i];//如果跳过去的深度依然比b深，就换一个数继续跳
      }
  }
  if(a==b)return a;
  //让a和b同步往上跳，找到lca
  ///注意：我们要跳到离他们最近公共祖先下面的一层，而不是跳到相等的那一层
  //这样处理会更方便
  for(int i=19;i>=0;i--){//如果跳出去了。那么这俩个都是0
    if(fa[a][i]!=fa[b][i]){//如果a和b没有跳到相等，那就继续往上跳
      a=fa[a][i];
      b=fa[b][i];//如果相等了就跳过头了，就不跳
    }
  }
  
  return fa[a][0];
}

void solved(){
  memset(h,-1,sizeof h);
  int n,m,root;
  cin>>n>>m>>root;
  for(int i=1;i<n;i++){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    add(a,b);
    add(b,a);
  }
  depth[root]=0;
  dfs(root,0);
  while(m--){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<lca(a,b)<<"\n";

  }
  
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    int t;
    t=1;
    while(t--){
        solved();
    }
  return 0;
}