0419 数学

如有不足，及时惠示指正。

If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.——John von Neumann

壹 矩乘优化

矩乘优化DP

经典模型：给定一张图和初始所在的点，每秒向相邻的点走1步，求第k$(\le 10^{18})$秒后可能在的位置。这是一个传递闭包。利用矩阵的性质和FLoyd算法转移的联系可以设计出矩乘优化。

贰 线性基

子集异或

线性基是什么？$\text{【模板】线性基题解}\to$
经典模型：给定n个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。
由于$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus a_n=b$等价于$a_1\oplus a_2\oplus ...\oplus b=a_n$，所以线性基可以去掉重复的数，此时使用贪心可以保证算法正确。
$ex\alpha :\text{第k小异或和}$
如果k的第i位=1，答案就异或线性基中从小到大第i+1个数。

叁 莫比乌斯反演

$\text{莫比乌斯学习笔记——}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{q}$

整除分块

经典模型：给定n，求${\Sigma }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$。
通过打表或理性证明发现有很多$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$是相同的，并且$\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\rfloor$是相同的块中的最大的数。
那么有如下$O(\sqrt{n})$算法：

for(int l = 1, r;l <= n;l = r + 1) {
	r = n / (n / l);
    ans += (r - l + 1) * (n / l);
}

值得一提的是，对于这样的扩展：$\sum _{i=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{i}\rfloor$，有如下代码：

for(int l = 1, r;l <= min(n,m);l = r + 1) {
	r = min(n / (n / l),m / (m / l));
    ans += (r - l + 1) * (n / l) * (m / l);
}

将整除分块讲在最前面是因为莫反经常把式子化成这种形式。

数论函数

中国剩余定理

$\text{中国剩余定理——}\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{f}$