高中数学-二项式定理以及系数和帕斯卡定理

最新推荐文章于 2025-12-05 17:02:52 发布

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本文介绍了二项式定理，包括其定义、性质和证明，强调了每乘一个(a+b)项数如何翻倍以及通项的形成。此外，通过证明展示了二项式定理的归纳法应用。还提到了当a=b=1时，二项式定理的系数和为2^n，这与帕斯卡定理相呼应。帕斯卡定理在组合问题中的应用也进行了简单阐述。

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二项式
$注意:Cn0=1,什么都不选，是一种选择。按照定义Cn0=n!0!∗(n−0)!注意:C_{n}^0=1,什么都不选，是一种选择。按照定义C_{n}^0=\frac{n!}{0!*(n-0)!}$
$a_{n}表示第n个括号的a，b_{n}表示第n个括号的b$
$a1+b1=a1+b1(1)a_{1}+b_{1}=a_{1}+b_{1}\quad\quad (1)$
$a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})=(a_{1}+b_{1})a_{2}+(a_{1}+b_{1})b_{2}$
$=a1a2+b1a2+a1b2+b1b2(2)\quad\quad\quad\quad=a_{1}a_{2}+b_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}+b_{1}b_{2}\quad\quad(2)$
$a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})(a_{3}+b_{3})=(a_{1}a_{2}+b_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}+b_{1}b_{2})(a_{3}+b_{3})$
$a_{1}a_{2}+b_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}+b_{1}b_{2})a_{3}+(a_{1}a_{2}+b_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}+b_{1}b_{2})b_{3}$