【Usaco 2011 Open】修剪草坪

forever_dreams

于 2019-02-16 20:50:23 发布

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分类专栏： --------动态规划（DP）-------- # 线性DP 文章标签：单调队列 DP

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【题目】

传送门

题目描述：

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，FJ 变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，FJ 希望能够再次夺冠。

然而，FJ 的草坪非常脏乱，因此，FJ 只能够让他的奶牛来完成这项工作。FJ 有 $n (1 \leq n \leq 100, 000)$ 只排成一排的奶牛，编号为 $1, 2, . . ., n$ 。每只奶牛的效率是不同的，奶牛 $i$ 的效率为 $e_i(0≤e_i≤1,000,000,000)$ 。

靠近的奶牛们很熟悉，因此，如果 FJ 安排超过 $k$ 只连续的奶牛，那么，这些奶牛就会罢工去开派对。因此，现在 FJ 需要你的帮助，计算 FJ 可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过 $k$ 只奶牛。

输入格式：

第一行：空格隔开的两个整数 $n$ 和 $k$

第二到 $n + 1$ 行：第 $i + 1$ 行有一个整数 $e_i$

输出格式：

一个值，表示 FJ 可以得到的最大的效率值。

数据样例：

输入
5 2
1
2
3
4
5

输出
12

提示：

【样例解释】

FJ 有 $5$ 只奶牛，他们的效率为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ 。他们希望选取效率总和最大的奶牛，但是他不能选取超过 $2$ 只连续的奶牛

FJ 可以选择出了第三只以外的其他奶牛，总的效率为 $1 + 2 + 4 + 5 = 12$ 。

【分析】

我们可以转化一下问题，题目要我们最大化选出的奶牛的效率，我们可以最小化不选的奶牛的效率。

不难发现一个性质：两头相邻的不选的奶牛间最多只能有 $k$ 头奶牛。

用 $f_i$ 表示不选 $i$ 时最小的效率，显然它可以从 $f_{i-k-1}$ ~ $f_{i-1}$ 中转移过来。

但是直接暴力枚举来转移会超时，考虑用单调队列来优化 DP。

单调队列里面记录的是 $f_i$ ，是单调递增的，那么队首就是最小的，直接取队首来转移就可以了。

然后在 $f_{n-k}$ ~ $f_n$ 中取个最小值，再用总效率减去它即可。

【代码】

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 100005
using namespace std;
deque<int>q;
long long f[N];
int main()
{
	int n,k,i,x;
	long long sum=0,Min=1e+18;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	q.push_back(0);
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&x),f[i]=x,sum+=x;
		while(!q.empty()&&i-q.front()>k+1)  q.pop_front();
		if(!q.empty())  f[i]=f[q.front()]+x;
		while(!q.empty()&&f[i]<=f[q.back()])  q.pop_back();
		q.push_back(i);
	}
	for(i=n-k;i<n;++i)
	  Min=min(Min,f[i]);
	printf("%lld",sum-Min);
	return 0;
}