回归问题-Lasso回归

最新推荐文章于 2025-11-20 10:36:22 发布

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#Lasso #最小角回归 #坐标下降法

Lasso(Least absolute shrinkage and selection operator)方法是以缩小变量集（降阶）为思想的压缩估计方法。它通过构造一个惩罚函数，可以将变量的系数进行压缩并使某些回归系数变为0，进而达到变量选择的目的。

正则化

正则化（Regularizaiton）是一种防止过拟合的方法。

图1 欠拟合与过拟合

图来自：百度百科（过拟合）

从图中可以看出，最右边的属于一种过拟合，过拟合的问题通常发生在变量（特征）过多的时候，这种情况下训练出的方程总是能很好的拟合训练数据，也就是损失函数可能非常接近于 0 或者就为 0。但是，这样的曲线会导致它无法泛化到新的数据样本中。

如果解决过拟合问题?

（1）尽量减少选取变量的数量

可以人工检查每一项变量，并以此来确定哪些变量更为重要，保留那些更为重要的特征变量。这种做法非常有效，但是其缺点是当舍弃一部分特征变量时，也舍弃了问题中的一些信息。例如，所有的特征变量对于预测房价都是有用的，实际上并不想舍弃一些信息或者说舍弃这些特征变量。

（2）正则化

在正则化中将保留所有的特征变量，但是会减小特征变量的数量级。当有很多特征变量时，其中每一个变量都能对预测产生一点影响。假设在房价预测的例子中，可以有很多特征变量，其中每一个变量都是有用的，因此不希望把任何一个变量删掉，这就导致了正则化概念的发生。

如果应用正则化去解决实际问题？

在图1中，可以看出最右边的是过拟合的，但是不想抛弃 $\theta_{3}\theta_{4}$ 变量自带的信息，因此加上惩罚项，使得 $\theta_{3}\theta_{4}$ 足够小。

优化目标为：

$\min _{\theta} \frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}$

在优化目标的基础上，添加一些项（惩罚项），如下：

$\min _{\theta} \frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}+1000 \theta_{3}^{2}+1000 \theta_{4}^{2}$

1000 只是随便写的一个表示很大的数字。现在，如果想要最小化这个函数，那么为了最小化这个新的损失函数，就要让 $\theta_{3}$ 和 $\theta_{4}$ 尽可能小。因为，如果在原有代价函数的基础上加上 $1000 \theta_{3}^{2}+1000 \theta_{4}^{2}$ 这一项，那么这个新的代价函数将变得很大，所以，当最小化这个新的代价函数时， $\theta_{3}$ 和 $\theta_{4}$ 尽可能小或者接近于0，就像我们忽略了这两个值一样。如果做到这一点（ $\theta_{3}$ 和 $\theta_{4}$ 接近于0），那么我们将得到一个近似的二次函数，并且 $h_{\theta}$ 中并没有丢失 $\theta_{3}$ 和 $\theta_{4}$ 的信息（虽然 $\theta_{3}$ 和 $\theta_{4}$ 接近于0，但是还是存在的）

但是在真实问题中，一个预测问题可能有上百种特征，并不知道哪一些是高阶多项式的项，就像不知道 $\theta_{3}$ 和 $\theta_{4}$ 是高阶的项。所以，如果假设有一百个特征，并不知道如何选择关联度更好的参数，如何缩小参数的数目等等。因此在正则化里，要做的事情，就是把减小损失函数中所有的参数值，（因为并不知道是哪一个或哪几个是要去缩小的）。

因此，我们需要修改代价函数，变成如下形式：

$\frac{1}{2 m}\left[\sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}+\lambda \sum_{j=1}^{n} \theta_{j}^{2}\right]$