核PCA(Kernel PCA)详述

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#KPCA #核函数

目录

1核函数

2 核函数种类

3核函数应用-KPCA

 

3月份，写过一篇PCA的文章，再此基础上，又看了关于KPCA的东西，所以有了这篇文章，这篇文章，直接使用了PCA中的主要思想，不明白的可以转到https://blog.youkuaiyun.com/foneone/article/details/88881334这篇文章。

1核函数

如果存在一个从X到P的映射：

                                                                      \phi\left ( x \right ) :X->P

使得对所有x,z属于X,函数K(x,z)满足条件：

                                                                      K(x,z) = \phi \left ( x \right )\cdot \phi (z)

则K(x,z)为核函数，\phi为映射函数，\phi \left ( x \right )\cdot \phi (z)为\phi \left ( x \right )和\phi (z)内积。

举一个简单的例子： 

通过一个映射，将一个二维的非线性分隔线（椭圆）变成了三维平面，变成了线性分隔。

在学习和预测中，只定义核函数K(x,z)，而不定义映射函数\phi（映射不好直接显示表达，但两者内积可以通过核函数表达）。

两者关系：给定核函数，特征空间和映射函数\phi取法不唯一，即使同一特征空间，映射也可以不同。

假设给定的核函数如下：

                                                                             k(x, z)=(x \cdot z)^{2}   

若X^{1}=(x_{1},x_{2}),X^{2}=(x_{3},x_{4})

                                    <X^{1} \cdot X^{2}>=\left(\left(x_{1}, x_{2}\right) \cdot (x_{3}, x_{4}\right)^{T})^{^{2}}=x_{1}^{2} x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}+x_{2}^{2} x_{4}^{2}

（1）若此时映射写为：

                                                        &nbs

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