POJ 1014 Dividing(多重背包 + 二进制优化 + 01背包)

题目链接：POJ 1014 Dividing

多重背包 + 二进制优化 + 01背包

我是在小蛛蛛的博客学习的二进制优化，下面的思路也是他的。

解题思路：题目给价值为1~6的六种大理石的个数若干，要求我们判断是否能够把石头平分成相等的价值。我的思路是这样的：将大理石的重量看成和价值相等，那么总容量等于总价值数sum，那么如果总容量为sum/2时能装的最大价值也为sum/2,那么说明能拆分也两份相等的价值。

注意：此题用背包要压缩，否则会超 时。

背包九讲的第三讲中提到了压缩方法，我贴出来：



P03: 多重背包问题 每种物品有一个固定的次数上限

题目

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

转化为01背包问题

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为∑n[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*∑n[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*∑log n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

if cost*amount>=V

CompletePack(cost,weight)

return

integer k=1

while k<num

ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

amount=amount-k

k=k*2

ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一下，也许就会慢慢理解了。

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAX_N = 20000 + 1000;
int dp[6 * MAX_N],value[MAX_N];
int num[8];

int main()
{
    int sum;
    int cnt = 1;
    while(cin >> num[1] >> num[2] >> num[3] >> num[4] >> num[5] >> num[6])
    {
        sum = 0;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(value,0,sizeof(value));
        for(int i = 1;i <= 6;i++)
            sum += i * num[i];
        if(sum == 0)
            break;
        cout << "Collection #" << cnt++ << ":" << endl;
        if(sum % 2 == 1)
        {
            cout << "Can't be divided." << endl;
            cout << endl;
            continue;
        }
        sum /= 2;
        int k = 0;
        for(int i = 1;i <= 6;i++)
        {
            if(num[i] == 0)
                continue;
            int t = 1;
            while(num[i] - t > 0)//二进制压缩为一般01背包
            {
                value[k++] = t * i;
                num[i] -= t;
                t = t << 1;
            }
            value[k++] = num[i] * i;
        }
        for(int i = 0;i < k;i++)
            for(int j = sum;j >= value[i];j--)
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - value[i]] + value[i]);
        if(dp[sum] == sum)
            cout << "Can be divided." << endl;
        else
            cout << "Can't be divided." << endl;
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

学、