最小生成树Kruskal算法+并查集实现

最新推荐文章于 2021-05-31 22:19:59 发布

小爷永远不死

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分类专栏：数据结构与算法

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本文介绍了Kruskal算法及其在解决最小生成树问题中的应用，详细解释了算法步骤，并通过一个具体实例展示了如何使用并查集优化算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

今天刚掌握Kruskal算法，写下随笔。

对于稀疏图来说，用Kruskal写最小生成树效率更好，加上并查集，可对其进行优化。

Kruskal算法的步骤：

1.对所有边进行从小到大的排序。

2.每次选一条边（最小的边），如果如果形成环，就不加入(u,v)中，否则加入。那么加入的(u,v)一定是最佳的。

并查集：
我们可以把每个连通分量看成一个集合，该集合包含了连通分量的所有点。而具体的连通方式无关紧要，好比集合中的元素没有先后顺序之分，只有“属于”与“不属于”的区别。图的所有连通分量可以用若干个不相交集合来表示。

而并查集的精妙之处在于用数来表示集合。如果把x的父结点保存在p[x]中(如果没有父亲，p[x]=x)，则不难写出结点x所在树的递归程序：

find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}

意思是，如果p[x]=x，说明x本身就是树根，因此返回x；否则返回x的父亲p[x]所在树的根结点。

既然每棵树表示的只是一个集合，因此树的形态是无关紧要的，并不需要在“查找”操作之后保持树的形态不变，只要顺便把遍历过的结点都改成树根的儿子，下次查找就会快很多了。如下图所示：

设第i条边的端点序号和权值分别保存在u[i],v[i],w[i]中，而排序后第i小的边保存在r[i]中。(间接排序是指排序的关键字是对象的代号，而不是对象本身。)

下边举一个例题加深理解

省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可）。经过调查评估，得到的统计表中列出了有可能建设公路的若干条道路的成本。现请你编写程序，计算出全省畅通需要的最低成本。

Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出评估的道路条数 N、村庄数目M ( < 100 )；随后的 N
行对应村庄间道路的成本，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间道路的成本（也是正整数）。为简单起见，村庄从1到M编号。当N为0时，全部输入结束，相应的结果不要输出。

Output
对每个测试用例，在1行里输出全省畅通需要的最低成本。若统计数据不足以保证畅通，则输出“?”。

Sample Input
3 3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
1 3
2 3 2
0 100

Sample Output
3
?

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>


using namespace std;


int Set[105];
struct node
{
    int x;
    int y;
    int d;
}s[5000];
int n, m;
int ans;
int coun;


bool cmp(node p1, node p2) {


   return p1.d < p2.d;
}


int Find(int x) {


    return x == Set[x] ? x : Set[x] = Find(Set[x]);
}
void Union(int i) {


    int a, b;
    a = Find(s[i].x);
    b = Find(s[i].y);
    if(a != b) {


        Set[a] = b;
        ans += s[i].d;
        coun--;
    }




}
int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF && n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++) {


            scanf("%d%d%d", &s[i].x, &s[i].y, &s[i].d);
        }


        sort(s, s + n, cmp);
        coun = m;
        ans = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            Set[i] = i;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            Union(i);
  if(ans = n - 1)
              break;
        }
        if(coun == 1)
        {
            printf("%d\n", ans);
        }
        else
        {
            printf("?\n");
        }
    }
    return 0;
}

部分转自：http://www.cnblogs.com/Veegin/archive/2011/04/29/2032423.html