深入剖析 C++ 中的 BELL - MAN 算法

最新推荐文章于 2025-04-13 21:58:14 发布

小白布莱克

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文章标签： c++ 算法开发语言

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fn7525/article/details/145541480

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在计算机科学领域，图论算法是解决众多实际问题的有力工具。其中，BELL - MAN 算法作为一种经典的单源最短路径算法，在处理带权有向图时展现出独特的优势。本文将深入探讨 BELL - MAN 算法在 C++ 中的实现与应用。

一、BELL - MAN 算法简介

BELL - MAN 算法由理查德・贝尔曼（Richard Bellman）和莱斯特・福特（Lester Ford）提出，旨在解决带权有向图中给定源点到其他各顶点的最短路径问题。与迪杰斯特拉算法不同，BELL - MAN 算法能够处理图中存在负权边的情况，这使得它在一些复杂的场景中具有不可替代的作用。

二、算法原理

BELL - MAN 算法基于动态规划的思想，通过对图中所有边进行多次松弛操作来逐步逼近最短路径。松弛操作是指对于每条边 (u, v)，如果从源点到 u 的距离加上边 (u, v) 的权值小于当前从源点到 v 的距离，那么就更新从源点到 v 的距离。算法会对所有边进行 | V| - 1 次松弛操作，其中 | V | 是图中顶点的数量。这是因为在没有负权环的情况下，最短路径最多包含 | V| - 1 条边。

三、C++ 实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits.h>

using namespace std;

// 定义边的结构体
struct Edge {
    int src, dest, weight;
};

// 定义图的结构体
struct Graph {
    int V, E;
    struct Edge* edge;
};

// 创建一个新的图
Graph* createGraph(int V, int E) {
    Graph* graph = new Graph;
    graph->V = V;
    graph->E = E;
    graph->edge = new Edge[E];
    return graph;
}

// BELL - MAN算法实现
void bellmanFord(Graph* graph, int src) {
    int V = graph->V;
    int E = graph->E;
    vector<int> dist(V, INT_MAX);
    dist[src] = 0;

    // 进行V - 1次松弛操作
    for (int i = 1; i <= V - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < E; j++) {
            int u = graph->edge[j].src;
            int v = graph->edge[j].dest;
            int weight = graph->edge[j].weight;
            if (dist[u]!= INT_MAX && dist[u] + weight < dist[v])
                dist[v] = dist[u] + weight;
        }
    }

    // 检查是否存在负权环
    for (int i = 0; i < E; i++) {
        int u = graph->edge[i].src;
        int v = graph->edge[i].dest;
        int weight = graph->edge[i].weight;
        if (dist[u]!= INT_MAX && dist[u] + weight < dist[v])
            cout << "图中存在负权环" << endl;
    }

    // 输出结果
    cout << "顶点   距离源点的最短距离" << endl;
    for (int i = 0; i < V; i++)
        cout << i << "\t\t" << dist[i] << endl;
}

int main() {
    int V = 5; // 顶点数
    int E = 8; // 边数
    Graph* graph = createGraph(V, E);

    // 初始化边的信息
    graph->edge[0] = { 0, 1, -1 };
    graph->edge[1] = { 0, 2, 4 };
    graph->edge[2] = { 1, 2, 3 };
    graph->edge[3] = { 1, 3, 2 };
    graph->edge[4] = { 1, 4, 2 };
    graph->edge[5] = { 3, 2, 5 };
    graph->edge[6] = { 3, 1, 1 };
    graph->edge[7] = { 4, 3, -3 };

    bellmanFord(graph, 0);

    return 0;
}