深入理解 C++ 算法之 SPFA

小白布莱克

于 2025-02-15 19:23:21 发布

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文章标签： c++ 算法开发语言

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fn7525/article/details/145655180

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在图论算法的世界里，单源最短路径问题是一个经典且重要的研究方向。SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法作为求解单源最短路径问题的一种高效算法，在 C++ 编程中有着广泛的应用。本文将深入探讨 SPFA 算法的原理、实现步骤以及在 C++ 中的代码实现。

SPFA 算法原理

SPFA 算法本质上是对 Bellman - Ford 算法的一种优化。Bellman - Ford 算法通过对所有边进行多次松弛操作来找到最短路径，但这种方式效率较低。SPFA 算法则利用了队列来优化这个过程。它的核心思想是：只有那些距离值发生改变的点，才有可能去更新其邻接点的距离值。

算法开始时，将源点加入队列，然后不断从队列中取出节点，对其邻接节点进行松弛操作。如果某个邻接节点的距离值因为这次松弛而减小，且该节点不在队列中，就将其加入队列。如此循环，直到队列为空，此时所有节点的最短路径都已确定。

实现步骤

初始化：将所有节点的距离值设为无穷大，源点距离设为 0，创建一个空队列，并将源点加入队列。

取出节点：从队列中取出一个节点 u。

松弛操作：遍历节点 u 的所有邻接节点 v，如果从源点到 v 的距离可以通过 u 得到更短的路径，即dist[v] > dist[u] + w(u, v)（其中w(u, v)是边 (u, v) 的权值），则更新dist[v]的值，并将 v 加入队列（前提是 v 不在队列中）。

循环判断：重复步骤 2 和步骤 3，直到队列为空。

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 100010;
// 边的结构体
struct Edge {
    int to, w;
};
// 邻接表
vector<Edge> g[N];
int dist[N];
bool st[N];

void spfa(int start) {
    // 初始化距离
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        dist[i] = INF;
    }
    dist[start] = 0;
    queue<int> q;
    q.push(start);
    st[start] = true;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = false;
        for (auto& edge : g[u]) {
            int v = edge.to;
            int w = edge.w;
            if (dist[v] > dist[u] + w) {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!st[v]) {
                    q.push(v);
                    st[v] = true;
                }
            }
        }
    }
}