洛谷P1090 [NOIP2004 提高组] 合并果子 详细解析及AC代码

前言

计算机网络好难，完全不会，不如来写C，我的第一印象是这一题是一题哈夫曼树【Huffman Tree】。

题目

[NOIP2004 提高组] 合并果子 / [USACO06NOV] Fence Repair G

题目描述

在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 $n-1$ 次合并之后， 就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为 $1$ ，并且已知果子的种类 数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 $3$ 种果子，数目依次为 $1$ ， $2$ ， $9$ 。可以先将 $1$ 、 $2$ 堆合并，新堆数目为 $3$ ，耗费体力为 $3$ 。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 $12$ ，耗费体力为 $12$ 。所以多多总共耗费体力 $=3+12=15$ 。可以证明 $15$ 为最小的体力耗费值。

输入格式

共两行。
第一行是一个整数 $n(1\le n\le 10000)$ ，表示果子的种类数。

第二行包含 $n$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $a_i(1\le a_i\le 20000)$ 是第 $i$ 种果子的数目。

输出格式

一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于 $2^{31}$ 。

样例 #1

样例输入 #1

3 
1 2 9

样例输出 #1

15

提示

对于 $30\%$ 的数据，保证有 $n\le 1000$：

对于 $50\%$ 的数据，保证有 $n\le 5000$；

对于全部的数据，保证有 $n\le 10000$。

题目分析

  其实意思挺简单的，C++的int和long long int长度肯定是不能支持10⁵⁰⁰的，所以要想到使用别的方法，我想到了用字符串处理。
  字符串处理就是把数值位一位一位像列竖式一样的计算，相当于你要注意每一位的满十进位。
  由于两个数字位数可能不一样，所以这边后面还需要再写一个判断。具体实现代码见后面。

注意事项

1.字符表示参考ASCII，字符转化为数字时，需要减去‘0’，也就是48。
2.使用%10来进行十进制的进位。
3.string.length()用来得到string类型的长度
4.数组从0开始，数值存储在0到length-1之间

代码

1.优先队列

不使用万能头可以用
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
时间只需要113ms

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

priority_queue <int,vector<int>,greater<int> > q;
/*
q.size();//返回q里元素个数
q.empty();//返回q是否为空，空则返回1，否则返回0
q.push(k);//在q的末尾插入k
q.pop();//删掉q的第一个元素
q.top();//返回q的第一个元素
q.back();//返回q的末尾元素
*/
int a[10007]={0}; 
int main(){
	int n,t,sum=0,a,b;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>t;	
		q.push(t);
	}
	for(int i=0;i<n-1;i++){
		a=q.top();
		q.pop();
		b=q.top();
		q.pop();
		q.push(a+b);
		sum+=(a+b);
		//cout<<"a:"<<a<<"\tb:"<<b<<"\ta+b:"<<a+b<<"\tsum:"<<sum<<endl;
	}
	cout<<sum;
	return 0;
}

2.堆排序

其实优先队列的原理也是堆排序，但是他被封装好了，便于使用。
这里就用数组模拟堆进行堆排序
堆有一个有趣的性质：一个编号为i的结点的父亲结点为编号i/2的结点，左儿子为2i，右儿子为2i+1。
就是在堆排序的基础上做一些调整，加入删除元素等操作

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
int n,heap[maxn],size=0;
void up(int p) //二叉小根堆向上调整（子节点小于父节点就调整）
{
  while(p>1)
  {
    if(heap[p]<heap[p/2])
    {
      swap(heap[p],heap[p/2]);
      p/=2;
    }
    else break;
  }
}
void insert(int val) //二叉堆插入，新元素放在堆底，向上调整
{
  heap[++size]=val;
  up(size);
}
void down(int p) //二叉小根堆向下调整
{
  int s=p*2;
  while(s<=size)
  { //下面这句话是从左右儿子中选一个更小的做交换
    if(s<size&&heap[s+1]<heap[s]) s++; 
    if(heap[s]<heap[p])
    {
      swap(heap[s],heap[p]);
      p=s; s=p*2;
    }
    else break;
  }
}
void extract() //二叉堆删除堆顶
{
  heap[1]=heap[size--]; //将堆底移至堆顶，向下调整
  down(1);
}
int gettop() //返回堆顶的值
{
  return heap[1];
}
int main()
{
  cin>>n;
  for(int i=1; i<=n; i++)
  {
    int a; cin>>a;
    insert(a); //建立二叉堆
  }
  long long ans=0; //其实这里不会越界，但好像原题数据是3万
  while(size>=2) //如果还可合并
  {
    int top1=gettop(); //取出堆顶（堆中最小值）后删除堆顶
    extract();
    int top2=gettop(); //同上
    extract();
    ans+=(top1+top2);
    insert(top1+top2); //将两数之和加入二叉堆，重复运算
  }
  cout<<ans<<endl; //输出答案
  return 0;
}

后话

python解法

我当时做赫夫曼树的时候写过一个python的代码，输入跟本题相同。提交直接过了，这里也给大家参考一下，不过用的是最朴素的方法。时间稍微慢一些。但是有个优点是支持高精度的数据。

n=input()
n=int(n)
numbers = [eval(x) for x in input().split()]
numbers.sort(reverse=True)
#sum=sum(numbers)
summ=0
while len(numbers)>1:
    m=len((numbers))
    add=numbers[m-1]+numbers[m-2]
    summ=add+summ
    numbers.pop(m-1)
    numbers.pop(m-2)
    numbers.append(add)
    numbers.sort(reverse=True) 
print(summ)

建议大家还是学习一下C++的解法，毕竟很多考研上机都要求C或者C++

王婆卖瓜

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题目来源

NOIP 2004 提高组 第二题
洛谷链接
堆排序-微雨燕双飞