所有顶点对之间的最短路径之Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法是一种用于寻找图中所有顶点对间最短路径的算法,其时间复杂度为O(n^3)。该算法通过迭代检查每个中间节点,更新最短路径。在遍历所有节点后,可以得到每对顶点间的最短距离。简单易懂的代码示例展示了算法的执行过程。

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Floyd算法用于求最短路径。Floyd算法可以说是Warshall算法的扩展,三个for循环就可以解决问题,所以它的时间复杂度为O(n^3)。

Floyd算法的基本思想如下:从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能,1是直接从A到B,2是从A经过若干个节点X到B。所以,我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离,对于每一个节点X,我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立,如果成立,证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短,我们便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB),这样一来,当我们遍历完所有节点X,Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

很简单吧,代码看起来可能像下面这样:

for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k )
{
	for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i )
	{
		for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j )
		{
			if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )
			{
				// 找到更短路径
				Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];
			}
		}
	}
}

注意i,j,k的顺序所代表的意义,一次实现如下:

#include <stdio.h>
#include <limits.h>
//using namespace std;

#define MAX_VERTICES 6
int cost[][MAX_VERTICES] = 
	{{0,50,10,1000,45,1000},
	{1000,0,15,1000,10,1000},
	{20,1000,0,15,1000,1000},
	{1000,20,1000,0,35,1000},
	{1000,1000,30,1000,0,1000},
	{1000,1000,1000,3,1000,0}};
int distance[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES];
short int found[MAX_VERTICES];
int path[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES];

int n = MAX_VERTICES;


void Floyd(int cost[][MAX_VERTICES],
int distance[][MAX_VERTICES],int n,int path[][MAX_VERTICES])
{
	int i,j,k;
	for(i = 0; i < n; i++)
	{	
		for(j = 0;j < n; j++)
		{
			distance[i][j] = cost[i][j];
			path[i][j] = i;
		}
	}
	for(k =0; k < n; k++)
		for(i = 0;i < n; i++)
			for(j = 0;j < n; j++)
			{
				if (distance[i][k] + distance[k][j] < distance[i][j])
				{
					distance[i][j] = distance[i][k] + distance[k][j];
					path[i][j] = path[k][j];
				}
			}
				 
	
}

int main()
{
	int v = 0;
	Floyd(cost,distance,n,path);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
			printf("%-3d",distance[i][j]);
		printf("\n");
	}
	printf("\n"); 
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
			printf("%-3d",path[i][j]);
		printf("\n");
	}


	/*create path output*/
	printf("\n");
	
}
测试数据所代表的图:


输出:

0  45 10 25 45 1000
35 0  15 30 10 1000
20 35 0  15 45 1000
55 20 35 0  30 1000
50 65 30 45 0  1000
58 23 38 3  33 0  

0  3  0  2  0  0  
2  1  1  2  1  1  
2  3  2  2  1  2  
2  3  1  3  1  3  
2  3  4  2  4  4  
2  3  1  5  1  5  

REF:

1,数据结构(C语言版) Ellis Horowitz

2,http://www.cnblogs.com/twjcnblog/archive/2011/09/07/2170306.html


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