AA树—简单的红黑树

        AA树是Arne Andersson教授在他的论文"Balanced search trees made simple"中介绍的一个红黑树变种，设计的目的是减少RB树考虑的cases。AA树是一颗红黑树，但是规定红色结点不能作为任何结点的左孩子，也就是说红色结点只能作为右孩子。红黑树和 2-3-4树是等价的数据结构，那么只能有右红孩子结点的红黑树本质上就是 2-3树，所以AA-树的操作结果可以用对应的2-3树上操作的结果验证正确性。另外AA树为实现方便，不再使用红黑两种颜色，而是用level标记结点。level实际上就相当于RB树中的black height，叶子结点的level等于1（反过来，level等于1的不一定是叶子结点，因为等于1的结点可能有一个红色的右孩子），红色结点使用它的父结点的level，黑色结点比它的父结点的level小1。另外，下面两种情况是禁止出现的：

1）连续两个水平方向链（horizontal link），所谓horizontal link是指一个结点跟它的右孩子结点的level相同（左孩子结点永远比它的父结点level小1）。这个规定其实相当于RB树中不能出现两个连续的红色结点。

2）向左的水平方向链（left horizontal link），也就是说一个结点最多只能出现一次向右的水平方向链。这是因为left horizontal link相当于左孩子能为红色结点，这在AA树的定义中是不允许的。

        在插入和删除操作中，可能会出现上面两个禁止发生的情况，这时候就需要通过树的旋转操作来纠正。AA树中只有两个基本操作：skew和split。前者用于纠正出现向左的水平方向链，后者用于纠正出现连续两个水平方向链的情况。skew就是一个右旋转，split是一个左旋转，但两者不是互逆的。skew操作之后可能引起1）的发生（当skew之前已经有一个右孩子的level跟当前结点的level相同），这时需要配合使用split操作。split操作的特点是新的子树的根节点level增加1, 从而会在它的父结点中出现1）(当它作为父结点的左孩子)或者在它的父结点中出现2）（当它作为父结点的右孩子而且父结点跟祖父结点的level相同），这时需要通过skew和split操作纠正这两种情况。

 

 

 
由于split引起的新问题发生在parent一级局部结点，而skew引起的新问题只发生在当前局部结点，所以在实现时需要先skew，再split。

在下面的插入操作中使用递归，删除操作没有使用递归。新插入的结点level等于1。