11、量子力学中的贝尔不等式：从理论到实验验证

量子力学中的贝尔不等式：从理论到实验验证

1. 爱因斯坦 - 波多尔斯基 - 罗森悖论与量子非定域性

在量子力学的框架下，爱因斯坦 - 波多尔斯基 - 罗森（EPR）悖论揭示了现实在某种意义上是“不合理”的。以一个例子来说，爱丽丝进行的（局部）测量实际上会对鲍勃的系统产生即时（即超光速）的影响，尽管并没有可检测到的信号被发送。这种现象通常被称为量子力学的非定域性。

贝尔不等式在这一背景下具有核心地位。一方面，该不等式基于隐变量的假设；另一方面，量子力学预测在某些状态下会违反这个不等式。这就为通过实验检验隐变量的存在提供了可能。

2. 原始贝尔不等式

2.1 基本假设

假设存在隐变量能够完全决定自旋可观测量的观测值，这等价于假设测量值具有联合分布。本质上，贝尔不等式源于这样一个假设：对两个量子比特的自旋测量结果可以表示为具有联合分布的离散随机变量。

考虑一对处于纠缠贝尔态的量子比特：
[
|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|01\rangle - |10\rangle) \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B
]
其中，量子比特 A 被发送给爱丽丝，量子比特 B 被发送给鲍勃。

爱丽丝可以对她的量子比特 A 进行自旋测量，并任意选择测量自旋的方向，该方向用 $\mathbb{R}^3$ 中的单位向量 $\hat{n}_A$ 表示。她测量的可观测量为 $\hat{n}_A \cdot \sigma$，记为 $\Sigma_A^{\hat{n}_A}$，测量得到的值为 $s_A^{