3、图类压缩表示与相关问题研究

图类压缩表示与相关问题研究

在图论和算法领域，图的表示和相关问题的研究一直是重要的课题。本文将探讨无向简化树、补图（cographs）、串并联图（series - parallel graphs）的紧凑表示，以及广义保证顶点覆盖和图 $r$ - 划分问题。

1. 无向简化树的紧凑表示

• 引理与扩展路径提取 ：存在引理表明，对于无向简化树，若 $v_j$ 已定义且 $h(v_j) < h(v_i)$，则 $v_l = v_j$；若 $h(v_j) \geq h(v_i)$ 或 $v_j$ 未定义，则 $v_l = v_j’$。为找到扩展路径，需要找出 $v_j$ 和 $v_j’$，这可在 $O(j - i)$ 时间内完成。具体来说，若 $v_l = v_j$，则不会访问顶点 ${v_i, \ldots, v_j}$；若 $v_l = v_j’$，则将 $v_i$ 设置为 $v_j’ + 1$，并再次寻找 $v_j$ 和 $v_j’$ 以找到下一条扩展路径。每个顶点在最大左下行路径中被访问两次，一次用于寻找 $v_j$，一次用于寻找 $v_j’$。算法维护两个列表，一个包含满足 $h(v_{j - 1}) > h(v_j)$ 的顶点 $v_j$，另一个包含相同高度的顶点，这两个列表可在线性时间内维护，且能在 $O(1)$ 时间内找到 $v_j$ 和 $v_j’$。因此，从最大左下行路径 $L$ 中提取扩展路径可在 $O(|L|)$ 时间内完成。
• 相关定理
  • 定理 2 ：对于任意 $\ell \geq 1$，存在从具