6、代数积：唯一具有“与”性质的运算

代数积：唯一具有“与”性质的运算

1. 归一化交集的结合性问题

在模糊集合的运算中，归一化交集何时具有结合性是一个值得探讨的问题。根据定义，归一化交集运算具有交换性。已知对于代数积 (f_{\&}(a, b) = a \cdot b)，归一化交集运算是具有结合性的。然而，对于许多其他的“与”运算，归一化交集并不具有结合性。因此，自然地产生了一个猜想：代数积是唯一使得归一化交集具有结合性的“与”运算。

2. 相关定义

• “与”类运算的定义 ：“与”类运算 (t) 是一个从 ([0, 1] \times [0, 1]) 到 ([0, 1]) 的函数，对于所有 (a \in [0, 1])，满足 (t(a, 1) = t(1, a) = a)。需要注意的是，这个定义比 (t) - 范数的定义更弱，这里不要求函数 (t) 具有单调性甚至结合性。
• 归一化交集运算的定义 ：对于每个“与”类运算 (t(a, b))，对应的归一化交集运算将两个模糊集 (\mu_1(x)) 和 (\mu_2(x)) 转换为一个新的模糊集 ((\mu_1 \& \mu_2)(x))，其计算公式为 ((\mu_1 \& \mu_2)(x) = \frac{t(\mu_1(x), \mu_2(x))}{\sup_{y \in X} t(\mu_1(y), \mu_2(y))})。需要注意的是，只有当公式中的分母不为 0 时，交集才有定义。

3. 命题内容

对于每个“与”类运算 (t(a, b))，以下两个条件是等价的：