14、随机过滤、控制与交互粒子系统相关理论解析

随机过滤、控制与交互粒子系统相关理论解析

1. 简单排斥过程

在随机过程的研究中，简单排斥过程是一个重要的模型。对于该过程，有如下定义和公式：
- (dh (x) = \sum{\eta_t(x)(1 - \eta_t(x))dN (y, x) t - \eta_t(y)(1 - \eta_t(x))dN (x, y)_t})，其中(N (x, y)_t)是均值为(p (y - x) dt)的泊松过程。
- (df (h_t) = \sum {x,y} ( f(\eta_t(x,y)) - f(\eta_t))\eta_t(y)(1 - \eta_t(x))dN (y, x) t = (L f)d\eta_t + dM)。
- 这里(Lf(\eta) = \sum {x,y} f(x,y)(\eta(y)(1 - \eta(x))p (x - y)))。
- (dM = \sum_{x,y} f(\eta_t(x,y))(\eta_t(y)(1 - \eta_t(x))dM (y, x)_t)，且(M (x, y)_t = N_p (x, y)_t - (y - x)t)是一个鞅。

通过一系列推导，我们还得到了关于鞅的一些重要性质：
- (d M^2_t = 2M_tdM_t + \langle M, M \rangle_t)。
- (d E[M^2_t] = d E[\langle M, M \rangle_t])。
- (d \langle M, M \rangle_t = \sum(F(\eta_t(x,y)) - F(\eta_t))^2\eta_t(y)(1 - \eta_t(