深度学习中各种符号及术语的定义(一)

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本文详细解释了神经网络中常用符号的定义与含义，包括神经元输出a、权重w、偏置b及激活函数等，并介绍了这些符号的上标与下标的特定含义。

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1、符号定义

对于每个neuron输出定义为a，其中a有上标和下标，上标l表示是第l层的neuron的输出，i表示是第l层的第i个neuron输出。

2、对于权重w也有上标和下标，上标l表示是第l-1到第l层的权重，下标为ij，是从第l-1层的第j个neuron到第l层的第i个neuron，这个很重要，这是有具体意义的。对于一个权重矩阵，行表示是到第l行第一个neuron的权重，所以为下标为1j，第二行下标为2j。


3、bias-偏置值b也有上标和下标，上标l表示第l层的偏置值，i表示第l层第i个neuron的偏置值，每个neuron都有一个偏置值。所以如果第l层有Nl个神经元，则有Nl个偏置值。



4、每个neuron有一个activation function ，输入是z，输出是上面讲过的a，也有上标和下标，l表示第l层，i表示第i个neuron




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### 深度学习中的常用数学符号与术语 在深度学习领域，为了描述复杂的模型架构和算法过程，通常会使用一系列标准化的数学符号和术语。以下是常见的数学符号及其含义： #### 1. **输入、权重和偏置** - 输入向量通常被记作 \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{d_x} \)，其中 \( d_x \) 是输入维度[^3]。 - 权重矩阵一般表示为 \( \mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d_h \times d_x} \)，用于连接输入层到隐藏层或其他层之间的映射关系。 - 偏置项是一个列向量，记作 \( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{d_h} \)。 #### 2. **激活函数** - 隐藏层的输出经过某种非线性变换后传递给下一层。常用的激活函数包括 Sigmoid 函数 \( \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \) 和 ReLU (Rectified Linear Unit) 函数 \( f(x) = \max(0, x) \)。 #### 3. **损失函数** - 损失函数衡量预测值与真实值之间的差距。对于分类任务，交叉熵损失常被定义为： \[ L(y, \hat{y}) = -\sum_{i=1}^{C} y_i \log(\hat{y}_i), \] 其中 \( C \) 是类别总数，\( y \) 是真实的标签分布，而 \( \hat{y} \) 则是模型预测的概率分布[^2]。 #### 4. **梯度下降优化器** - 参数更新的核心公式如下： \[ \theta := \theta - \eta \cdot \nabla_\theta J, \] 这里 \( \eta \) 表示学习率，\( J \) 是目标函数（通常是平均损失），\( \nabla_\theta J \) 是关于参数 \( \theta \) 的梯度。 #### 5. **正则化技术** - 正则化的目的是防止过拟合。L2 正则化会在损失函数中加入一项惩罚因子： \[ R(W) = \lambda \| W \|^2_F. \] --- ### 示例代码：简单的前馈神经网络 下面展示了一个基本的两层全连接神经网络的实现方式： ```python import numpy as np def forward_pass(X, W1, b1, W2, b2): # 第一层计算 Z1 = np.dot(X, W1.T) + b1 A1 = np.maximum(Z1, 0) # 使用ReLU作为激活函数 # 第二层计算 Z2 = np.dot(A1, W2.T) + b2 exp_scores = np.exp(Z2) probs = exp_scores / np.sum(exp_scores, axis=1, keepdims=True) return probs ``` --- ### 总结 上述内容涵盖了深度学习中最基础的一些数学符号和术语，这些工具帮助构建高效的神经网络模型，并解决实际应用中的各种问题。
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