农夫约翰最喜欢的操作python

题目描述

又是农夫约翰的农场上寒冷而无聊的一天。

为了打发时间，农夫约翰发明了一种关于在整数数组上进行操作的有趣的休闲活动。

农夫约翰有一个包含 N 个非负整数的数组 a 和一个整数 M。

然后，农夫约翰会请贝茜给出一个整数 x。

在一次操作中，农夫约翰可以选择一个索引 i，并对 ai 加 1 或减 1。

农夫约翰的无聊值是他必须执行的最小操作次数，以使得对于所有的 1≤i≤N，ai−x 均可被 M 整除。

对于所有可能的 x，输出农夫约翰的最小无聊值。

输入格式

输入的第一行包含 T，为需要求解的独立的测试用例数量。

每一个测试用例的第一行包含 N 和 M。

第二行包含 a1,a2,…,aN。

输出格式

对于每一个测试用例输出一行，包含对于所有可能的 x，农夫约翰的最小无聊值。

数据范围

1≤T≤10,
1≤N≤2×105,
1≤M≤109,
0≤ai≤109,
输入保证所有测试用例的 N 之和不超过 5×105。

输入样例：

2
5 9
15 12 18 3 8
3 69
1 988244353 998244853

输出样例：

10
21

样例解释

在第一个测试用例中，x 的一个最优选择是 3。

农夫约翰可以执行 10 次操作使得 a=[12,12,21,3,12]。

算法

(枚举、前缀和、贪心)

首先，思考题目中的“对于所有的 1≤i≤N，ai−x 均可被 M 整除” 这句话，用数学式就是 (ai−x)%M=0，换个写法就是 ai%M=x （当 x 小于 M 时）。

所以，这题变为问最少操作次数，对任意个 ai 操作后，所有 ai%M 的结果等于 x 。

我们可以先对所有的 ai 进行模 m 操作，然后思考将 ai 变为 x 需要操作几次。这时，我们可以再转变题目的问法，即这时所有的 ai 到 x 的距离之和最小是多少。就是我们做过的贪心模板题 货仓选址 ，答案就是 x 取序列的中位数，算所有序列元素与中位数的绝对值之和。证明建议看y总的视频讲解，或者去找找别人的博客。（ps：这个算法也叫中位数定理。）

接下来，我们还要解决一个问题，那就是 ai 变 x 是有两种方式的，一个是减一个是加:
假设当前 ai=2,x=8,m=10，可以选择加 6 ，也可以选择 −4，解释一下：ai−4=2−4=−2 ，这时因为 ai<0 了，是有一个默认操作加上模数的 −2+10=8 它相当于 2+10−4=12−4=8。

所以，我们还要考虑序列元素再加一个模数的情况，这样枚举每一个长度为 n 的区间，套中位数定理的模板算最小操作数，取其中最小值就是答案。

这里模板是要进行优化的，因为朴素写法是枚举所有序列元素，这里明显不可以枚举否则会超时，用前缀和优化，每个数与中位数的绝对值之和，就是前半部分 (mid−l)∗a[mid]−∑i=lmid−1a[i] 再加上后半部分 ∑i=mid+1ra[i]−(r−mid)∗a[mid] 。

时间复杂度 O(nlog(n)+n)

代码

t = int(input())
for _ in range(t):
    n, m = map(int, input().split())
    a = list(map(int, input().split()))
    a = [a[i] % m for i in range(n)]
    a.sort()
    a += [x + m for x in a]  # 扩展数组，后半部分加上 m
    a=[0]+a
    pre = [0] * (2 * n + 1)
    for i in range(1, 2 * n + 1):
        pre[i] = pre[i - 1] + a[i]

    ans = float('inf')
    for l in range(1,n+1):
        r = l + n - 1
        mid = (l + r) // 2  # 中位数位置
        left = (mid - l) * a[mid] - (pre[mid-1] - pre[l-1])
        right = (pre[r] - pre[mid]) - (r - mid) * a[mid]
        ans = min(ans, left + right)

    print(ans)