18、保密约束下的源编码：从理论到实践的深入剖析

保密约束下的源编码：从理论到实践的深入剖析

1. 马尔可夫链下的源编码推论

在信息传输中，若 $A - B_1 - \cdots - B_K$ 构成马尔可夫链，那么速率对 $(R_A, \epsilon)$ 可实现的充要条件如下：
- $R_A \geq H(A|B_K)$
- $\epsilon \leq \max{I(A, B_K|U) - I(A; E|U)}$
- $R_A + \epsilon \geq H(A|E)$

这里的最大化是针对辅助随机变量 $U$ 进行的，且需满足 $U - A - (B_1, \cdots, B_K, E)$ 构成马尔可夫链。

另一种情况是存在一个合法接收者和多个非协作的窃听者，每个窃听者有其相关的侧信息。假设有 $K$ 个窃听者，第 $k$ 个窃听者的侧信息为 $E_k$，定义 $K$ 个保密率为：
$\epsilon_k \triangleq \frac{H(A^N|f_A(A^N), E^N_k)}{N}$，其中 $k = 1, \cdots, K$。
此时，我们要选择能同时实现相应保密率的辅助码本。对于多窃听者场景，$(R, \epsilon)$ 可实现的充要条件为：
- $R_A \geq H(A|B)$
- $\epsilon_k \leq [H(A|E_k, U) - H(A|B, U)]^+$
- $R_A + \epsilon_k \geq H(A|E_k)$，对于 $k = 1, \cdots, K$，且存在满足马尔可夫链条件 $U - A - (B, E_1, \cdots, E_K)$ 的辅助随机变量。