14、密码学中的关键概念与算法解析

密码学中的关键概念与算法解析

1. 雅可比符号

雅可比符号是勒让德符号向所有奇数的推广。设 (n) 是一个奇数正整数，其素因数分解为 (n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k})，其中素数 (p_1,\cdots,p_k) 互不相同，(x) 是一个整数。那么 (x) 模 (n) 的雅可比符号等于 (x) 关于每个素数的勒让德符号的乘积，即 (\left(\frac{x}{n}\right)=\left(\frac{x}{p_1}\right)^{a_1}\left(\frac{x}{p_2}\right)^{a_2}\cdots\left(\frac{x}{p_k}\right)^{a_k})。若 (n) 为素数，雅可比符号就等同于勒让德符号。即使在 (n) 的素因数分解未知的情况下，也可通过二次互反律高效计算雅可比符号。

2. 卡拉楚巴算法

卡拉楚巴算法（KA）于 1962 年被引入，用于多项式乘法。与传统乘法方法相比，它以增加加法运算为代价，减少了系数乘法的次数。

2.1 基本卡拉楚巴算法

考虑两个一次多项式 (A(x)=a_1x + a_0) 和 (B(x)=b_1x + b_0)，引入辅助变量 (D_0 = a_0b_0)，(D_1 = a_1b_1)，(D_{0,1}=(a_0 + a_1)(b_0 + b_1))，则 (C(x)=A(x)B(x)=D_1x^2+(D_{0,1}-D_0 - D_1)x + D_0)。这种方法需要三次乘法和四次加法，而传统方法需要 (n^2) 次乘法和 ((n - 1)^2) 次加法（这里 (n = 2)，即四次乘法和一次加法）。显然，该算法也可用于整数