P2765 魔术球问题（数学||最大流）

最新推荐文章于 2023-04-15 03:43:45 发布

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本文探讨了魔术球问题的两种解决方案：一种是通过观察规律推导公式的数学方法；另一种则是利用网络流原理来解决该问题。两种方法都旨在确定在满足特定条件下放置最少数量球所需的柱子数目。

P2765 魔术球问题

题意：n个柱子，然后在柱子上放球，同一柱子上相邻球之和为完全平方数。

法一：数学，打表看规律推公式。

放球时，放在已经开了的柱子上比放在还未开的柱子上更优。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 70;

int n;
vector<int> vec[maxn];

bool check(int x)
{
    int y = sqrt(x);
    if(y * y == x) return true;
    return false;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        for(int i = 0; i <= n; i++) vec[i].clear();
        int cnt = 0, ans = 1;
        while(1)
        {
            for(int i = 1; i <= cnt; i++)
                if(check(vec[i].back() + ans))
                {
                    vec[i].push_back(ans);
                    ans++; i = 0;
                }
            if(cnt < n) vec[++cnt].push_back(ans++);
            else break;
        }
        printf("%d\n", ans - 1);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 0; j < vec[i].size(); j++)
            j == vec[i].size() - 1 ?
            printf("%d\n", vec[i][j]): printf("%d ", vec[i][j]);
    }

    return 0;
}

法二：网络流

每根柱子互不干扰，可以把每根柱子看成一条路径——这不就成了最小路径覆盖问题了吗？？？

将相加为完全平方数的两个数连一条边，求解最小路径覆盖问题就可以解决 n0 个球最少需要多少根柱子的问题。

最小路径覆盖可以由最大流解决：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 51000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int m, n, flag;
struct Node
{
    int to, cap, rev;
};

vector<Node> G[maxn * 50];
int level[maxn], iter[maxn];
bool b[maxn];

void addedge(int from, int to, int cap)
{
    G[from].push_back((Node){to, cap, G[to].size()});
    G[to].push_back((Node){from, 0, G[from].size() - 1});
}

void bfs(int s)
{
    memset(level, 0, sizeof(level));
    queue<int> que;
    level[s] = 1;
    que.push(s);
    while(!que.empty())
    {
        int v = que.front(); que.pop();
        for(int i = 0; i < G[v].size(); i++){
            Node &e = G[v][i];
            if(e.cap > 0 && level[e.to] <= 0){
                level[e.to] = level[v] + 1;
                que.push(e.to);
            }
        }
    }
}

int dfs(int v, int t, int f)
{
    if(v == t) return f;
    for(int &i = iter[v]; i < G[v].size(); i++)
    {
        Node &e = G[v][i];
        if(e.cap > 0 && level[v] < level[e.to])
        {
            int d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
            if(d > 0)
            {
                e.cap -= d;
                G[e.to][e.rev].cap += d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}

int max_flow(int s, int t)
{
    int flow = 0;
    while(1){
        bfs(s);
        if(level[t] <= 0) return flow;
        memset(iter, 0, sizeof(iter));
        int f;
        while((f = dfs(s, t , INF)) > 0) flow += f;
    }
}

void print(int x)
{
    b[x] = true;
    if(flag) printf(" ");
    flag = 1;
    printf("%d", x);
    int len = G[x].size();
    for(int j = 0; j < len; j++)
        if(G[x][j].cap == 0 && G[x][j].to != 0)
        {
            print(G[x][j].to - 2000); return;
        }
}
bool check(int x)
{
    int y = sqrt(x);
    if(1ll * y * y == x) return true;
    return false;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        memset(b, 0, sizeof(b));
        int s = 0, t = 5000, cnt = 0, cur = 0;
        while(1)
        {
            cur++;
            addedge(s, cur, 1);
            addedge(cur + 2000, t, 1);

            for(int i = 1; i <= cur - 1; i++)
                if(check(i + cur)) addedge(i, cur + 2000, 1);

            cnt += max_flow(s, t);
            if(cur - cnt > n) break;
        }

        printf("%d\n", cur - 1);
        for(int i = 1; i <= cur - 1; i++)
            if(!b[i]) flag = 0, print(i), printf("\n");;

    }
    return 0;
}