基尼系数的计算原理

理论

基尼指数（ Gini Index ）是20世纪初经济学家基尼定义的指标，最为知名的应用是考察居民收入的差异情况。

居民收入的情况符合幂指函数（ Power Law ）分布，最直观（但非准确）的理解就是 80/20 原则，也就是 20%的人拥有了 80% 的人的财富。用公式表示就是

描述了是收入靠后 %x 的人所拥有的收入总和占所有人收入总和的比例 f(x) 的关系。

幂指函数还有很多非常牛逼的应用，比如如果将单词出现的频率按照由高到低排列，则每个单词出现的频率和它在热门排行榜中排名的常数次幂成反比。

由于一本《长尾理论》的出现，在互联网领域幂指分布也叫长尾分布，因为大概最热门的 20% 的商品占据了用户购买商品数的 80% 。我们将物品按照热门程度从低到高排列，那么下图中的曲线表示最不热门的 x% 物品的总流行度占系统的比例 y% 。这条曲线肯定是在 y=x曲线之下的，而且和 y=x 曲线相交在(0,0) 和 (1,1)。

计算

基尼系数的计算公式为  ，也就是说，当收入很平均时，曲线接近于直线， A 的面积趋于0 ，基尼系统也趋于 0 。

下面推导公式：

关键是求 S(B) ，把B 分成从 1到 n 一共n 个小梯形，梯形的底为  和 ，高为 1/n，而 为0 ， 为 1，则：

可得基尼系数为：