彻头彻尾的理解回溯算法

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分类专栏：算法文章标签：算法数据结构

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定义

在程序设计中，有相当一类求一组解，或求全部解或求最优解的问题，例如读者熟悉的八皇后问题，不是根据某种特定的计算法则，而是利用试探和回溯的搜索技术求解。回溯法也是设计递归过程的一种重要方法，它的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。

---《数据结构》(严蔚敏)

怎么理解这段话呢？

首先，某种问题的解我们很难去找规律计算出来，没有公式可循，只能列出所有可能的解，然后一个个检查每个解是否符合我们要找的条件，也就是通常说的遍历。而解空间很多是树型的，就是树的遍历。

其次，树的先序遍历，也就是根是先被检查的，二叉树的先序遍历是根，左子树，右子树的顺序被输出。如果把树看做一种特殊的图的话，DFS就是先序遍历。所以，回溯和DFS是联系非常紧密的，可以认为回溯是DFS的一种应用场景。另外，DFS有个好处，它只存储深度，不存储广度。所以空间复杂度较小，而时间复杂度较大。

最后，某些解空间是非常大的，可以认为是一个非常庞大的树，此时完全遍历的时间复杂度是难以忍受的。此时可以在遍历的同时检查一些条件，当遍历某分支的时候，若发现条件不满足，则退回到根节点进入下一个分支的遍历。这就是“回溯”这个词的来源。而根据条件有选择的遍历，叫做剪枝或分枝定界。

DFS

首先看DFS，下面是算法导论上DFS的伪代码，值得一行行的去品味。需要注意染色的过程，因为图有可能是有环的，所以需要记录那些节点被访问过了，那些没有，而树的遍历是没有染色过程的。而且它用 π[m]来记录m的父节点，也就可以记录DFS时的路径。

DFS(G)
1 for each vertex u ∈ V [G]
2 do color[u] ← WHITE
3 π[u] ← NIL
4 time ← 0
5 for each vertex u ∈ V [G]
6 do if color[u] = WHITE
7 then DFS-VISIT(u)
DFS-VISIT(u)
1 color[u] ← GRAY
2 time ← time +1
3 d[u] <-time
4 for each v ∈ Adj[u]
5 do if color[v] = WHITE
6 then π[v] ← u
7 DFS-VISIT(v)
8 color[u] <-BLACK

例子

例一：求幂集问题，就是返回一个集合所有的子集。为什么叫幂集呢？因为一个集合有n个元素，那么它的所有的子集数是2^n个。比如[1,2,3]的子集是[]，[1]，[2]，[3]，[1,2]，[1,3]，[2,3]，[1,2,3]。

也就是下面这棵树的叶子节点：

那问题就变成了如何输出一棵树的叶子节点。那就需要知道现在到底遍历到哪一层了。方法有很多，可以用全局变量记录，也可以用递归函数的参数记录。

A）这里是用全局变量记录，在进入函数的时候level++，退出函数的时候level--

int level=0;
vector<vector<int> > result;
vector<int> temp;
void dfs(vector<int>& S){
    level++;
    if(level>S.size()){
        result.push_back(temp);
        level--;
        return;
    }
    temp.push_back(S[level-1]);
    dfs(S);
    temp.pop_back();
    dfs(S);
    level--;
    return;
}
vector<vector<int> > subsets(vector<int>& S){
    sort(S.begin(),S.end());
    dfs(S);
    reverse(result.begin(),result.end());
    return result;
}

B）这里记录层数用的是函数参数

vector<vector<int> > result;
vector<int> temp;
void dfs(vector<int>& S, int i){
    if(i==S.size()){
        result.push_back(temp);
        return;
    }
    temp.push_back(S[i]);
    dfs(S,i+1);
    temp.pop_back();
    dfs(S,i+1);
    return;
}
vector<vector<int> > subsets(vector<int>& S){
    dfs(S,0);
    reverse(result.begin(),result.end());
    return result;
}

总结一下，伪代码就是：

void dfs(层数){

if(条件){

输出；

}

else{

左子树的处理；

dfs(层数+1)；

右子树的处理；

dfs(层数+1)；

}

例二：皇后问题，比如8*8的棋盘，能摆放多少个皇后呢？国际象棋规则，皇后在同一行，同一列，同一斜线均可互相攻击。

伪代码如下：

int a[n];
void try(int i)
{
if(i==n){
输出结果;
         }
         else
         {
                   for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径
                   {
                            if(fun(j))    // 满足限界函数和约束条件
                            {
                                     a[i] = 1;
                                     ...    // 其他操作
                                     try(i+1);
                                     a[j] = 0;
                            }
                   }
         }
}

根据伪代码，写出最关键的一段代码如下。其中vector<vector<int> > m是全局变量，用来记录遍历轨迹，遍历前设上值，遍历后去掉。每一次调到output的时候，所有压入栈中的函数返回，都会调到m[level][i]=0;

void dfs(int level){  
    if(level==N){  
        output();  
    }  
    else{  
        for(int i=0;i<N;i++){  
            if(check(level+1,i+1)){  
                m[level][i]=1;  
                dfs(level+1);  
                m[level][i]=0;  
            }  
        }  
    }  
}

完整代码：

int N;  
vector<vector<int> > m;  
vector<vector<string> > result;  
bool check(int row,int column){  
            if(row==1) return true;  
            int i,j;  
            for(i=0;i<=row-2;i++){  
                if(m[i][column-1]==1) return false;  
            }  
            i = row-2;  
            j = i-(row-column);  
            while(i>=0&&j>=0){  
                if(m[i][j]==1) return false;  
                i--;  
                j--;  
            }  
            i = row-2;  
            j = row+column-i-2;  
            while(i>=0&&j<=N-1){  
                if(m[i][j]==1) return false;  
                i--;  
                j++;  
            }  
            return true;  
        }  
void output()  
{  
    vector<string> vec;  
    for(int i=0;i<N;i++){  
        string s;  
        for(int j=0;j<N;j++){  
            if(m[i][j]==1)  
                s.push_back('Q');  
            else  
                s.push_back('.');  
        }  
        vec.push_back(s);  
    }  
    result.push_back(vec);  
}  
void dfs(int level){  
    if(level==N){  
        output();  
    }  
    else{  
        for(int i=0;i<N;i++){  
            if(check(level+1,i+1)){  
                m[level][i]=1;  
                dfs(level+1);  
                m[level][i]=0;  
            }  
        }  
    }  
}  
vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {  
    N=n;  
    for(int i=0;i<n;i++){  
        vector<int> a(n,0);  
        m.push_back(a);  
    }  
    dfs(0);  
    return result;  
}

例三：数独问题，就是给出一个数独，解决它。

比如给出：

求解：

解空间是这样的：

由于数独都是9*9的，所以解空间有81层，每层有9个分支，我们做的就是遍历这个解空间。

如果只求一个解，那我们可以在得到解之后返回，而标记是否得到解可以用全局变量或返回值来做，

用全局变量的话，代码如下：

bool flag= false;
bool check(int k, vector<vector<char> > &board){
        int x=k/9;
        int y=k%9;
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            if (i != x && board[i][y] == board[x][y])
                return false;
        for (int j = 0; j < 9; j++)
            if (j != y && board[x][j] == board[x][y])
                return false;
        for (int i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
            for (int j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
                if (i != x && j != y && board[i][j] == board[x][y])
                    return false;
        return true;
    }
void dfs(int num,vector<vector<char> > &board){
    if(num==81){
        flag=true;
        return;
    }
    else{
        int x=num/9;
        int y=num%9;
        if(board[x][y]=='.'){
            for(int i=1;i<=9;i++){
                board[x][y]=i+'0';
                if(check(num,board)){
                    dfs(num+1,board);
                    if(flag)
                        return;
                }
            }
            board[x][y]='.';
        }
        else{
            dfs(num+1,board);
        }
    }
}
void solveSudoku(vector<vector<char> > &board) {
    dfs(0,board);
}

用返回值的话，关键部分做一下修改就可以了：

 bool f(int i, vector<vector<char> > &board){
        if(i==n*m)
            return true;
        if(board[i/n][i%m]=='.'){
            for(int k=1;k<=9;k++){
                board[i/n][i%m]=k+'0';
                    if(check(i,board) && f(i+1,board))
                            return true;
            }
            board[i/n][i%m]='.';
            return false;
        }
        else
            return f(i+1,board);
    }

要求得到所有解的话，可以在解出现的时候存下来：

vector<vector<vector<char> >> sum;
bool check(int k, vector<vector<char> > &board){
        int x=k/9;
        int y=k%9;
        for (int i = 0; i < 9; i++)
            if (i != x && board[i][y] == board[x][y])
                return false;
        for (int j = 0; j < 9; j++)
            if (j != y && board[x][j] == board[x][y])
                return false;
        for (int i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
            for (int j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
                if (i != x && j != y && board[i][j] == board[x][y])
                    return false;
        return true;
    }
void dfs(int num,vector<vector<char> > &board){
    if(num==81){
        sum.push_back(board);
        return;
    }
    else{
        int x=num/9;
        int y=num%9;
        if(board[x][y]=='.'){
            for(int i=1;i<=9;i++){
                board[x][y]=i+'0';
                if(check(num,board)){
                    dfs(num+1,board);
                    //if(flag)
                      //  return;
                }
            }
            board[x][y]='.';
        }
        else{
            dfs(num+1,board);
        }
    }
}
void solveSudoku(vector<vector<char> > &board) {
    dfs(0,board);
}
int main()
{
    vector<string> myboard({"...748...","7........",".2.1.9...","..7...24.",".64.1.59.",".98...3..","...8.3.2.","........6","...2759.."});
    vector<char> temp(9,'.');
    vector<vector<char> > board(9,temp);
    for(int i=0;i<myboard.size();i++){
        for(int j=0;j<myboard[i].length();j++){
            board[i][j]=myboard[i][j];
        }
    }
    solveSudoku(board);
    for(int k=0;k<sum.size();k++){
    for(int i=0;i<sum[k].size();i++){
        for(int j=0;j<sum[k][i].size();j++){
            cout<<sum[k][i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    cout<<"######"<<endl;
    }
    cout<<"sum is "<<sum.size()<<endl;
    cout << "Hello world!" << endl;
    return 0;
}

最终，我们得到了8个解。

wiki上有一张图片形象的表达了这个回溯的过程：