补码的数学原理

计算机是用n位0和1来表示数字的，这样很容易表示正数，但是怎么表示负数呢？

人类聪明的大脑想到了用第一位来表示符号，0代表正数，1代表负数。这种表示方法最好理解，叫做原码。

但是计算机在计算的时候，为了简化，需要把减法当做加法运算。这个很简单，负数不就是干这个的吗？比如2-1=2+（-1）。

但是负数如果按照原码表示的话，就不好办了，比如：

2-1=2+（-1）=00000010+10000001=10000011=-3

显然是错的，所以人类习惯的方法无法满足这个需求，根本原因在于符号位的引入不符合计算机运行原理。

那么，肿么办呢？

首先介绍模的概念：数学上7位数可以表示[0, 127]共128个值，超过128就会溢出，那么128就是7位数的模。

而模一定的情况下，减法都可以变换成加法来运算，比如：

你要把钟表往前拨2个小时，你可以把它往前拨10个小时来实现。这里-2就转化为了+10。

下面看同余数的数学定义：

如果a和b对于一个数m的余数相同，成a和b为m的同余数，或者称a和b互为补数，记做：

a ≡ b (mod m)

那么问题来了，负数的余数如何定义？

数学上是

就是：x对y的余数等于x减去y乘上x与y的商的下界。

而显然，一个数的余数一定是它的同余数。

这样如果你想算a-b的话（a，b都是正数），可以算成a+（-b的补数），比如：

模为128的情况下，2-1=2+（-1）=2+（128-1）=128+1，由于溢出，结果是1

终于算对了！撒花庆祝！但是还有下一个问题：

给定负数的原码，如何让计算机方便的算出负数的补数？

假如用n位来表示数，那么-a=2^(n-1)-a-2^(n-1)，其中a为正数

而a表示成10进制的话，

是a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+...k(n-2)*2^(n-2)，为什么是n-2呢？因为原码要留一位给符号位，所以只有n-1位有效位。

而2^(n-1)=1+1*2^0+1*2^1+1*2^2+...+1*2^(n-2)，所以

2^(n-1)-a=1+(1-k0)*2^0+(1-k1)*2^1+(1-k2)*2^2+...(1-k(n-2))*2^(n-2)，也就是除了最高位之外，其他部分取反加1。

而剩下的-2^(n-1)，它的补数是2^(n-1)，也就是还要再加上个最高位为1其他全为0的数.

那么就得出我们教科书的结论：

对于负数，原码到补码就是：符号位为1，其他位取反加1（不可进位到符号位）。

显然，对于正数，补码等于原码（想想钟表的例子）。

注意一个特例，-128是没有原码的，因为原码的表示范围就是[-127~127]，0有10000000和00000000两个。

但是按补码算的话，-127-1=11111111+10000001=10000000

所以补码是可以表示-128的，因此补码的表示范围是[-128~127]

注意，补码的计算完全是2进制的计算，没有符号位，而且该溢出溢出。

总结：

1. 计算机都是用补码表示数，语言在编译的时候已经把原码转换成了补码，再写入内存。

比如

int i=-1;

printf("%x\n",i);

输出就是0xFFFFFFFF

2. 计算机不知道减法，也不知道符号位，它只知道加法和溢出。所以补码运算只有加法和溢出。

3. print的时候，%d是打印原码，%x是打印计算机里的原始数据。而用0x80000000来赋值的话，其实是直接赋值给计算机内存原始数据。

比如

int i=0x80000000;

printf("%d\n",i);

输出就是-2147483648