Leetcode---Triangle

最新推荐文章于 2025-05-09 19:04:04 发布

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本文介绍如何使用动态规划解决最小路径和问题。通过递归和动态规划的方法，找到从三角形顶部到底部的最小路径总和。讨论了递归导致的时间限制超时问题，并提出了动态规划的解决方案，通过存储中间结果来避免重复计算，最终实现O(n)的空间复杂度。

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:
Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

思路：
假设第m行，n列的最小值为fun（m，n），其中m>=0, n>=0, 第m行元素个数为number，那么：
if( m==0){
    fun(m,n)=value(m,n)
}
else{
if( n!=0 && n!=number -1)
        fun(m,n)=min{fun(m-1,n), fun(m-1,n-1)}+value(m,n);
else
        fun(m,n)=fun(m-1,n)+value(m,n);
}
所以，我们找到了状态转移方程，编程如下：
int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
int min=0xFFFFFFFF;
int mnum=triangle.size();
int num=triangle[triangle.size()-1].size();
for(int i=0;i<num;i++){
int result = fun(mnum-1,i,triangle);
if(min>result)
min=result;
}
return min;
}
int fun(int m, int n, vector<vector<int> > &triangle){
    int number=triangle[m].size();
    if(m==0){
    return triangle[0][0];
    }
    else{
    if(n!=0 && n!=number-1)
    return min(fun(m-1,n,triangle), fun(m-1,n-1,triangle))+triangle[m][n];
    else
    return fun(m-1,n,triangle)+triangle[m][n];
    }
    }
但是运行结果是 Time Limit Exceeded
想想原因，就是递归导致了很多重复的操作，按照动态规划的基本原理，可以把递归的结果存起来，然后查表。
动态规划常常适用于有重叠子问题 ^[2] 和最优子结构性质的问题
最优子结构，我的理解，就是问题的解可以通过子问题的解来描述，也就是递归。
重叠子问题，我的理解，就是要是直接用递归的话，很多问题是重复的，所以需要查表，节省时间。分治法就不是，它不需要重复去调用一些递归。
对于上面的题目来说，它需要做的事情就是把结果存起来，存在哪里呢？
可以存在一个全局变量里，也可以存在 triangle里。下面是新的解法：

int minimumTotal(vector<vector<int> > &triangle) {
int m_number=triangle.size();
for(int m=0;m<m_number;m++){
int n_number=triangle[m].size();
for(int n=0;n<n_number;n++){
if(m>0){
if(n!=0 && n!=n_number-1)
triangle[m][n]= min(triangle[m-1][n], triangle[m-1][n-1])+triangle[m][n];
else
triangle[m][n]= triangle[m-1][n]+triangle[m][n];
}
}
}
int result=triangle[m_number-1][0];
for(int i=1;i<triangle[m_number-1].size();i++){
if(result>triangle[m_number-1][i])
result=triangle[m_number-1][i];
}
return result;
}