7、量子测量：从混合态到弱测量的深入解析

量子测量：从混合态到弱测量的深入解析

1. 混合态下测量的拓展

在量子测量的场景中，考虑系统和测量仪器在相互作用后再经过一段时间 (t) 的变化是很有趣的。此时，需要对已纠缠的态应用可分离的幺正变换：
[|\widetilde{\psi} 0\rangle = e^{-i\hat{H}_St/\hbar} \otimes e^{-i\hat{H}_Mt/\hbar}|\widetilde{\psi}\rangle]
若对测量仪器的位置进行测量，测量算符会发生变化。最终得到的算符为：
[\hat{\Pi}_x = |+\rangle_S\langle +| e^{-i\epsilon t/(2\hbar)}\langle x|e^{-i\hat{p}^2t/(2m\hbar) - ig\hat{p}/\hbar}|\widetilde{\varphi}\rangle + |-\rangle_S\langle -| e^{i\epsilon t/(2\hbar)}\langle x|e^{-i\hat{p}^2t/(2m\hbar) + ig\hat{p}/\hbar}|\widetilde{\varphi}\rangle]
这个结果在系统的 (\hat{\sigma}_z) 本征基下仍是对角的，这源于系统哈密顿量和相互作用哈密顿量对易，即 ([\hat{H}_S, \hat{H} {SM}] = 0)。这种测量有时被称为量子非破坏测量，因为若要以标准方式在能量本征基下测量系统，测量过程不应使态发生旋转。

当拥有不完全的量子信息时，需要将结果推广到混合态的情况。混合态对应于密度矩阵或密度算符。对于投影测量，结果 (j) 的出现概率为：