AT_abc247_f [ABC247F] Cards 题解-优快云博客

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文章描述了如何利用并查集合并具有相同数字正反面的卡片，并结合动态规划求解在给定卡片集合中选择元素，使得牌上数字包含1到N的所有可能方案数量的计算方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

有 $N$ 张卡片，每张卡片的正面、反面都有一个数字。第 $i$ 张卡片的正面的数字为 $P_i$ ，反面的数字为 $Q_i$ .
$P={P1,P2,…,Pn}P=\{P_1, P_2, \dots, P_n\}$ ， $\{Q_1, Q_2, \dots, Q_n \}$ 都是一个 ${1,2,…,N}\{1, 2, \dots, N\}$ 的排列。
现在你需要从这 $N$ 张卡片中选择一些，使得牌上的数字包含 $\dots, N$ 。问有多少种选择的方式。

思路

考虑使用并查集和动态规划。

我们可以将正面数字为 $i$ 和反面数字为 $i$ 的进行合并，其次我们可以用 $sum_i$ 表示集合 $i$ 的元素的数量。

接下来，我们要推出集合元素为 $i$ 的方案数量，我们假设用 $dp_i$ 表示集合元素为 $i$ 的方案数量，则答案就是为 $∏i=1ndpsumi\prod_{i=1}^{n} dp_{sum_i}$ 。

我们可以列举几个 $i$ ，可以发现 $dp_1=1$ ， $dp_2=3$ ， $dp_3=4$ ， $dp_4=7$ 等等。我们不难看出：
$dp_i=dp_{i-1}+dp_{i-2}$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int father[200005];
int n;
int jl[200005];
int find(int x) { return x == father[x] ? x : father[x] = find(father[x]); }//查找父节点
int add(int x, int y) { father[find(x)] = find(y); }//并查集合并
int dp[200005];
int sum[200005];
int ans = 1;
const int mod = 998244353;
signed main() {
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &x);
        jl[x] = i;
        father[i] = i;//并查集初始化
    }
    for (int i = 1, x; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &x);
        add(jl[x], i);//并查集合并
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)  sum[find(i)]++;//统计数量
    dp[1] = 1;//初始化
    dp[2] = 3;//初始化
    for (int i = 3; i <= 200000; i++) dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]) % mod;//dp
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (dp[sum[i]] == 0) //要是一个都没有，就跳过
            continue;
        ans = ((dp[sum[i]] % mod) * ans) % mod;//记得 mod
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}