HDU~4704~SUM

最新推荐文章于 2019-05-06 18:23:27 发布

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本文详细解析了快速幂算法与费马小定理，并通过具体实例展示了如何运用这两种数学工具来解决特定类型的问题。介绍了快速幂算法的基本原理及其实现模板，同时还解释了费马小定理的应用场景。

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首先感谢各位大神的博客
在下看懂后整合并改动了一小部分

题目地址
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704

题意即是求2^n-1 对 1e9+7 的余数
基础知识点
1.0，快速幂
首先，快速幂的全称是对高阶幂的快速取余运算
所以就是求
a ^ p % c的值
理解快速幂前需要掌握的知识点
0.1.0，所有十进制正整数都能用二进制表示(废话hhh)
比如19可以表示成10011即2^4 + 2^1 + 2^0 = 16 + 2 + 1
那么举个例子
0.1.1，一个数A的P次幂与一个数C的余等于A与C的余的P次幂的余
（a*a）%c == [（a%c）（a%c）]%c
3的19次方： 3^19 = 3 ^ (2^4 + 2^1 + 2^0)
那么讲解快速幂的模板hhh

#define ll long long
#define mod c
ll fast_pow(ll a, ll p)
{
    ll ans;
    while(p != 0)
    {
        if(p & 1)                  //在&运算符下p被视为二进制的形式 
                                   //p的最右位和1做与运算
            ans = ans * a % mod ;  //这里是定理0.1.1
        x = x * x % mod ;          
        p = p >> 1;                //p = p / 2
    }
    return ans;
}

2.0 费马小定理：
p是素数，若p不能整除a，则 a^(p-1) ≡1（mod p）。可利用费马小定理降素数幂。
举例
比如要求2 ^ 32 % 7
那么p = 7 ， p - 1 = 6
2 ^ 32可以拆成2^30 * 2^2
其中 2 ^ 30 = 2 ^ (5 * 6)
也就是 5 个 2 ^ 6 相乘。
由定理所述 2 ^ 6 % 7 == 1
所以 2^ 32 % 7 ==( 5个1相乘 * 2 ^ 2 )% 7 == 2 ^ 2 % 7
爽到
以下是解题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long

const int length = 100005, mod = 1000000007;
using namespace std;
char a[length];
ll fast_pow(ll a , ll p)
{
    ll ans = 1;
    while ( p )
    {
        if( p & 1 )
            ans = ans * a % mod;
        p = p >> 1;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%s",a))                    //**如果写!= 0会超时**
    {
        int len = strlen(a);
        ll ans  =  0;
        for(int i = 0 ; i < len ; i++)
            ans = (ans * 10 + a[i] - '0') % (mod - 1);
        ans = (ans + mod - 1) % (mod - 1) - 1;
        printf("%lld\n", fast_pow(2,ans));
    }
    return 0;
}