拓扑排序详解-优快云博客

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写在前面

最近做的几道题目的解法都是拓扑排序，网易游戏今年实习生招聘有一题也是用拓扑排序来解的，有必要完整了解拓扑排序过程。

什么是拓扑排序

拓扑排序本质上就是一个排序过程，与普通排序不同的是，所谓的拓扑序，指的是在有向无环图中任意两个结点的关系。这个关系，非常类似所谓的偏序关系，假设有向图中存在边(u,v)，那么我们称 u,v构成一个偏序，若用小于号表示偏序，即 u < v。所谓的拓扑排序，就是通过结点之间的偏序关系得到该有向图的一个全序关系。这里借助geeksforgeeks上的一张图来说明：

从这张图来看，每一个有向边都代表着一种偏序关系，对图中的结点来说，存在入度即表示前向结点的序小于当前结点，即存在a < b.必须说明的是，拓扑序并不一定是唯一的，关于这一点，在DFS的拓扑实现中我们会提到。在这里，我们先用一种比较常见的方法获得本图的第一个拓扑序：
首先，选择一个入度为0的结点作为起始结点；
其后，我们删除该结点及其有向边（这样做的原因是，前向结点已经被标记为有序，因此删去与其相关的有向边）。
重复上述过程，直到图为空或图中所有结点的入度都不为0（存在环路），则结束。
在本图中，显然，5和4的入度都为0，它们都可以作为拓扑序的起点位置，在这里我们选择5作为序的起点，删除有向边，我们发现4和2的入度为0，我们接着选择4（当然2也是正确的），按照这种思路，我们可能得到的一种结果是： 5 4 2 3 1 0，我们发现，这种结果并不唯一。但是能够得到的拓扑序都是合法的序。

上述解法的主要思想是维护一个入度为0的序列，以此得到顺序的拓扑序。而DFS解法的拓扑序列则完全相反。DFS方法考虑的是拓扑序的终点位置。我们知道，拓扑序中的最大值一定是出度为0的结点位置。反馈到DFS上，我们的思路就是，DFS当前路径的末尾一定是拓扑序的终点位置。该结点被标记为已访问，则也相当于删除了与其相关连的边。递归操作会不断寻找当前路径上的的拓扑序终点，遍历所有结点（因为有可能原有向图中入度为0的结点不唯一，这样就必须对所有结点DFS），得到序的倒序即是一个合法的拓扑序。我们通常使用栈来解这一过程，这样最后pop出所有栈内元素得到的就是要求的序。此外，DFS并不要求遍历的结点的具体位置，换句话说，从任意结点开始的遍历都可得到正确的拓扑序（但是必须遍历完所有结点）。下面会用DFS来解拓扑序（来自geeksforgeeks）：

DFS的拓扑序解

// A C++ program to print topological sorting of a DAG
#include<iostream>
#include <list>
#include <stack>
using namespace std;

// Class to represent a graph
class Graph
{
    int V;    // No. of vertices'

    // Pointer to an array containing adjacency listsList
    list<int> *adj;

    // A function used by topologicalSort
    void topologicalSortUtil(int v, bool visited[], stack<int> &Stack);
public:
    Graph(int V);   // Constructor

     // function to add an edge to graph
    void addEdge(int v, int w);

    // prints a Topological Sort of the complete graph
    void topologicalSort();
};

Graph::Graph(int V)
{
    this->V = V;
    adj = new list<int>[V];
}

void Graph::addEdge(int v, int w)
{
    adj[v].push_back(w); // Add w to v’s list.
}

// A recursive function used by topologicalSort
void Graph::topologicalSortUtil(int v, bool visited[], 
                                stack<int> &Stack)
{
    // Mark the current node as visited.
    visited[v] = true;

    // Recur for all the vertices adjacent to this vertex
    list<int>::iterator i;
    for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)
        if (!visited[*i])
            topologicalSortUtil(*i, visited, Stack);

    // Push current vertex to stack which stores result
    Stack.push(v);
}

// The function to do Topological Sort. It uses recursive 
// topologicalSortUtil()
void Graph::topologicalSort()
{
    stack<int> Stack;

    // Mark all the vertices as not visited
    bool *visited = new bool[V];
    for (int i = 0; i < V; i++)
        visited[i] = false;

    // Call the recursive helper function to store Topological
    // Sort starting from all vertices one by one
    for (int i = 0; i < V; i++)
      if (visited[i] == false)
        topologicalSortUtil(i, visited, Stack);

    // Print contents of stack
    while (Stack.empty() == false)
    {
        cout << Stack.top() << " ";
        Stack.pop();
    }
}

// Driver program to test above functions
int main()
{
    // Create a graph given in the above diagram
    Graph g(6);
    g.addEdge(5, 2);
    g.addEdge(5, 0);
    g.addEdge(4, 0);
    g.addEdge(4, 1);
    g.addEdge(2, 3);
    g.addEdge(3, 1);

    cout << "Following is a Topological Sort of the given graph n";
    g.topologicalSort();

    return 0;
}