线性代数——第一章行列式

最新推荐文章于 2025-03-04 11:48:02 发布

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本文详细介绍了行列式的定义与计算方法，包括二阶和三阶行列式的具体计算过程，以及余子式和代数余子式的概念。通过实例演示了行列式的计算步骤，帮助读者深入理解行列式的性质。

行列式

1.定义与含义

2.二阶行列式计算

矩阵A= $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_2_1&a_2_2\end{bmatrix}$ 行列式为 |A| = $a_1_1$ * $a_2_2$ - $a_1_2 * a_2_1$

如矩阵 A= $\begin{bmatrix} 1&2\\ 4&5\end{bmatrix}$ ，则行列式

|A| = 1*5 - 2* 4 = -3

3.三阶行列式计算

矩阵A= $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2&a_1_3\\ a_2_1&a_2_2&a_2_3\\ a_3_1&a_3_2&a_3_3\end{bmatrix}$ 行列式为

|A| = $a_1_1 * a_2_2* a_3_3$ + $a_1_2 * a_2_3*a_3_1$ + $a_1_3 * a_2_1*a_3_2$ - $a_1_3 * a_2_2* a_3_1$ - $a_1_2 * a_2_1*a_3_3$ - $a_1_1 * a_2_3*a_3_2$

如矩阵A= $\begin{bmatrix} 1&2&-4\\ -2&2&1\\ -3&4&-2\end{bmatrix}$ ,

则det(A)= |A| = 1*2* -2 + 2*1*-3 + -4*-2*4 - -4*2*-3 - 2*-2*-2 - 1*1*4

= -4 + -6 + 32 - 24 - 8 - 4 = -14

4. 余子式和代数余子式

定义: 在n 阶行列式中，把 $a_i_j$ 所在的第i 行和第j列划去后剩下的n-1阶行列式叫做 $a_i_j$ 的余子式，记作 $M_i_j$

而代数余子式为 $A_i_j=(-1)^i^+^jM_i_j$

如矩阵A= $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2&a_1_3\\ a_2_1&a_2_2&a_2_3\\ a_3_1&a_3_2&a_3_3\end{bmatrix}$

余子式分别为:

$M_1_1$ = $\begin{bmatrix} a_2_2&a_2_3\\ a_3_2&a_3_3\end{bmatrix}$ , $M_1_2$ = $\begin{bmatrix} a_2_1&a_2_3\\ a_3_1&a_3_3\end{bmatrix}$ , $M_1_3$ = $\begin{bmatrix} a_2_1&a_2_2\\ a_3_1&a_3_2\end{bmatrix}$

$M_2_1$ = $\begin{bmatrix} a_1_2&a_1_3\\ a_3_2&a_3_3\end{bmatrix}$ , $M_2_2$ = $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_3\\ a_3_1&a_3_3\end{bmatrix}$ , $M_2_3$ = $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_3_1&a_3_2\end{bmatrix}$

$M_3_1$ = $\begin{bmatrix} a_1_2&a_1_3\\ a_2_2&a_2_3\end{bmatrix}$ , $M_3_2$ = $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_3\\ a_2_1&a_2_3\end{bmatrix}$ , $M_3_3$ = $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_2_1&a_2_2\end{bmatrix}$

代数余子式分别为：

$A_1_1 =(-1)^1^+^1M_1_1$ = $\begin{bmatrix} a_2_2&a_2_3\\ a_3_2&a_3_3\end{bmatrix}$ , $A_1_2 =(-1)^1^+^2M_1_2$ = - $\begin{bmatrix} a_2_1&a_2_3\\ a_3_1&a_3_3\end{bmatrix}$ , $A_1_3 =(-1)^1^+^3M_1_3$ = $\begin{bmatrix} a_2_1&a_2_2\\ a_3_1&a_3_2\end{bmatrix}$

$A_2_1 =(-1)^2^+^1M_2_1$ = - $\begin{bmatrix} a_1_2&a_1_3\\ a_3_2&a_3_3\end{bmatrix}$ , $A_2_2 =(-1)^2^+^2M_2_2$ = $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_3\\ a_3_1&a_3_3\end{bmatrix}$ , $A_2_3 =(-1)^2^+^3M_2_3$ = - $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_3_1&a_3_2\end{bmatrix}$

$A_3_1 =(-1)^3^+^1M_3_1$ = $\begin{bmatrix} a_1_2&a_1_3\\ a_2_2&a_2_3\end{bmatrix}$ , $A_3_2 =(-1)^3^+^2M_3_2$ = - $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_3\\ a_2_1&a_2_3\end{bmatrix}$ , $A_3_3 =(-1)^3^+^3M_3_3$ = $\begin{bmatrix} a_1_1&a_1_2\\ a_2_1&a_2_2\end{bmatrix}$