二分图辨别

什么是二分图？

在图论中，二分图是一类特殊的图，因为它的顶点可以分成两个互斥的独立集的点集U,V（也就是所有的点可以分为两个集合，相同集合中的点互相没有边），使得所有边都是连结一个 U 中的点和一个 V 中的点。顶点集 U、V 被称为是图的两个部分。等价的，二分图可以被定义成图中所有的环都有偶数个顶点。

如何辨别二分图

给定一个图，使用深度优先搜寻法，可以在线性时间内判断它是否为二分图，并输出一个二着色 (若答案为是)，或是一个奇环 (若答案为否)。方法是先用深度优修搜寻法找出图的一个深度优先搜寻森林 (各连通部分取一个深度优先搜寻树)，这是图的一个生成森林。接着运用树的搜寻将森林二着色，也就是依序各顶点着和它的父节点相异的颜色。现在检查原图中深度优先搜寻森林以外的其他边，如果所有边的两端点都不同颜色，则这也是原图的一个二着色，并且输出它；如果有一个边 e 的两端点相同颜色，则此两端点在同一个连通部分，也就是在森林的同一棵树上，找出在森林中，连接两端点的路径 P，因为 P 上的顶点的颜色是交错出现的，因此 P 有偶数个顶点，加上 e 就形成一个奇环，并且输出它。
事实上，在上述的算法中，深度优先搜寻森林只是作为一个生成森林，让我们来着色。因此，用不同的方式获得的别的生成森林仍然可以使算法可以运作，例如，可以用广度优先搜寻取出广度优先搜寻森林。事实上，我们并不需要真的再建一个森林，只用在搜索的时候进行染色再记录下每一个点的状况就好了，如果碰到一个点本来应该染上这个颜色却已经染上了另一个颜色（例如绿色），那么这个时候我们就可以大胆的做出决定抛弃它了。
代码（转自nymphy）

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5010;
const int Mod=1e9+7;
vector<int>G[maxn];
int x[maxn],y[maxn],vis[maxn],col[maxn],N;
int qpow(int a,int x){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1) res=(res*1ll*a)%Mod;
        x>>=1;
        a=(a*1ll*a)%Mod;
    }   return res;
}
void read(int &res){
    char c=getchar();res=0;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
}
void init(int len){
    for(int i=1;i<=N;i++) vis[i]=0,G[i].clear();
    for(int i=1;i<=N;i++)
     for(int j=i+1;j<=N;j++){
          int dis=abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j]);
          if(dis>len) {
              G[i].push_back(j);
              G[j].push_back(i);
          }
    }
}
bool dfs(int u,int opt)
{
    vis[u]=1; col[u]=opt; 
    int L=G[u].size();
    for(int i=0;i<L;i++){
        int v=G[u][i];
        if(!vis[v]) {
            if(!dfs(v,opt^1)) return false;
        }
        else if(col[v]==opt) return false;
    }
    return true;
}
bool check(int len)
{
    init(len);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(!vis[i]) {
            if(!dfs(i,0)) return false;
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    read(N); 
    for(int i=1;i<=N;i++) read(x[i]),read(y[i]);
    int L=0,R=10000,Mid,ans;
    while(L<=R){
        Mid=(L+R)>>1;
        if(check(Mid)) ans=Mid,R=Mid-1;
        else L=Mid+1;
    }
    init(ans); int cnt=0,ans2;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            cnt++;
            dfs(i,0);
        }
    }
    ans2=qpow(2,cnt);
    printf("%d\n%d\n",ans,ans2);
    return 0;
}