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最新推荐文章于 2019-03-29 20:38:00 发布

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本文介绍了一种解决组合数学中特定类型竞赛题目的方法，通过将有数量限制的问题转化为只包含上界的计算，并使用容斥原理来计算非法排列的情况。文章提供了一个C++实现示例，包括对状态进行递归处理的函数以及快速幂运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这类有数量限制的题目都是上界减去下界,转化为只有上界的，然后嘛对每种状态进行容斥计算，不过这里要计算非法排列，不进行正面计算

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 2222;
const int mod = 100000007;
ll f[1000090];
int L[55],R[55];
int k,n;
ll ans=0;
inline ll POW(ll a,ll b,int mod)
{
	ll res=1,t=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*t%mod;
		t=t*t%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
inline ll cal(int n,int m)
{
	ll a=POW(f[n-m],mod-2,mod)*POW(f[m],mod-2,mod)%mod;
	return a*f[n]%mod;
}
inline void gao(int x,int cnt,int remain)
{
	if(x==0)
	{
		if(cnt&1)
		{
			ans-=cal(remain+k-1,k-1);
		}
		else
		{
			ans+=cal(remain+k-1,k-1);
		}
	}
	else
	{
		gao(x-1,cnt,remain);
		if(remain>R[x])
			gao(x-1,cnt+1,remain-R[x]-1);
	}
}
void init()
{
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=1000080;++i)
	{
		f[i]=f[i-1]*i;
		if(f[i]>=mod)
			f[i]%=mod;
	}
}
int main() {
	init();
	int T,cas,i;
	scanf("%d",&T);
	for(cas=1;cas<=T;++cas)
	{
		scanf("%d%d",&k,&n);
		for(i=1;i<=k;++i)
		{
			scanf("%d%d",L+i,R+i);
		}
		for(i=1;i<=k;++i)
		{
			n-=L[i];
			R[i]-=L[i];
		}
		ans=0;
		if(n>=0)
			gao(k,0,n);
		ans=(ans+1ll*mod*mod)%mod;
		printf("Case %d: %lld\n",cas,ans);
	}
	return 0;
}