LightOJ - 1124 同codeforce-451E (隔板法，卢卡斯定理，当n和m很大，p为任意素数时)

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题意：n个区间，每个区间可以取区间中的任意一个数，问取的数和为m的方案数。

题解：先看codeforce上的451E的区间都是从0开始，所以我们先看code上的题。

我们可以把m分为n份。那么利用隔板法，总的取法为C(n+m-1，n-1)。

因为这样分的话，肯定有一些区间取的数多于那个区间的最大值，我们把这一部分减去就是我们要求的答案，

怎么求多的那一部分呢,利用容斥原理，他超出的最小值为1，我们让sum-a[i]-1，表示分给他a[i]+1个然后这部分肯定超出限制，然后剩下的值也是最大的，最后我们把剩下的再分给n个即可，因为有重复的情况，我们利用容斥原理，我们可以加上超出的区间为0个的情况，然后减去1个的情况，加上2个的情况。。。

以下是code的代码

#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL p=1e9+7;
LL exp_mod(LL a, LL b, LL p) {
    LL res = 1;
    while(b != 0) {
        if(b&1) res = (res * a) % p;
        a = (a*a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

LL Comb(LL a, LL b, LL p) {
    if(a < b)   return 0;
    if(a == b)  return 1;
    if(b > a - b)   b = a - b;

    LL ans = 1, ca = 1, cb = 1;
    for(LL i = 0; i < b; ++i) {
        ca = (ca * (a - i))%p;
        cb = (cb * (b - i))%p;
    }
    ans = (ca*exp_mod(cb, p - 2, p)) % p;
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m) {
     LL ans = 1;

     while(n&&m&&ans) {
        ans = (ans*Comb(n%p, m%p, p)) % p;
        n /= p;
        m /= p;
     }
     return ans;
}
LL a[123];
int main()
{
    LL n, m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(LL i=0;i<n;i++)
    {
    	scanf("%lld",&a[i]);
	}
	LL ans=0;
	for(LL i=0;i<(1<<n);i++)
	{
		LL sum=m;LL flag=1;
		for(LL j=0;j<n;j++)
		{
			if((1<<j)&i)
			{
				sum-=a[j];sum--;
				flag*=-1;
			}
		}
		if(sum<0) continue;
		else
		{
			LL ans1=Lucas(sum+n-1,n-1);
			ans+=flag*ans1;
			ans%=p;
		}
		//printf("%lld\n",ans);
	}
	while(ans<0)
	ans+=p;
	printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

Light上的是code上的变形，我们可以让区间[l,r]变为区间[0,r-l]，同时m-l即可，注意mod值为1e8+7，而codeforce上mod值位1e9+7下面是Light的代码。

#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL p=1e8+7;
LL exp_mod(LL a, LL b, LL p) {
    LL res = 1;
    while(b != 0) {
        if(b&1) res = (res * a) % p;
        a = (a*a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

LL Comb(LL a, LL b, LL p) {
    if(a < b)   return 0;
    if(a == b)  return 1;
    if(b > a - b)   b = a - b;

    LL ans = 1, ca = 1, cb = 1;
    for(LL i = 0; i < b; ++i) {
        ca = (ca * (a - i))%p;
        cb = (cb * (b - i))%p;
    }
    ans = (ca*exp_mod(cb, p - 2, p)) % p;
    return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m) {
     LL ans = 1;

     while(n&&m&&ans) {
        ans = (ans*Comb(n%p, m%p, p)) % p;
        n /= p;
        m /= p;
     }
     return ans;
}
LL a[123];
int main()
{
    LL n, m,cas=1;int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
	    scanf("%lld%lld",&n,&m);
	    for(LL i=0;i<n;i++)
	    {
	    	LL l,r;
	    	scanf("%lld%lld",&l,&r);
	    	a[i]=r-l;
	    	m-=l;
		}
		LL ans=0;
		for(LL i=0;i<(1<<n);i++)
		{
			LL sum=m;LL flag=1;
			for(LL j=0;j<n;j++)
			{
				if((1<<j)&i)
				{
					sum-=a[j];sum--;
					flag*=-1;
				}
			}
			if(sum<0) continue;
			else
			{
				LL ans1=Lucas(sum+n-1,n-1);
				ans+=flag*ans1;
				ans%=p;
			}
			//printf("%lld\n",ans);
		}
		while(ans<0)
		ans+=p;
		printf("Case %lld: %lld\n",cas++,ans);    	
	}

    return 0;
}