Lightoj 1124 (容斥+lucas)

最新推荐文章于 2021-01-31 16:30:00 发布

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容斥

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本文探讨了从k个区间中选取数值使得总和等于给定值n的问题，并提出了一种利用组合数学与容斥原理的解决方案。通过将问题转换为求解隔板法的应用，再进一步考虑边界情况，最终通过二进制枚举子集的方法实现了问题的有效解决。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有k个区间【l,r】，从每个区间选一个数使他们和为n，问有多少种方法。

思路：这个问题可以转化为k个【0，r-l】的区间，每个区间选一个数使他们和为n-sum（l）。令n = n-sum(l).

这样通过隔板法，就能得到方案数位C（k+n-1,k-1）。但因为会有超出的情况，所以通过容斥去判断超出的情况。

超出0个时候加，超出1个的时候减，超出2个的时候加，超出3个的时候减……

最后二进制枚举子集即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 100000007;
int f[15];

ll pow_mod(ll k,ll n)
{
    ll ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            ans = ans*k%mod;
        k = k*k%mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

ll cal(ll n,ll m)
{
    if(m > n) return 0;
    if(m > n-m) m = n-m;
    ll a = 1,b = 1;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        a = a*(n-i)%mod;
        b = b*(i+1)%mod;
    }
    return a*pow_mod(b,mod-2)%mod;
}

ll lucas(ll n,ll m)
{
    if(m==0) return 1;
    return cal(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}


int main()
{
    int T;
    int kase = 0;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ll k,n;
        scanf("%lld%lld",&k,&n);
        for(int i = 0; i < k; i++)
        {
            ll l,r;
            cin >> l >> r;
            r -= l, n -= l;
            f[i] = r;
        }

        ll ans = 0;
        for(int S = 0; S < (1<<k); S++)
        {
            int flag = 1;
            int st = n;
            for(int i = 0; i < k; i++)
            {
                if((1<<i)&S)
                {
                    flag *= -1;
                    st -= (f[i]+1);
                }
            }
            if(st<0) continue;
            ans = (ans + flag*lucas(st+k-1,k-1))%mod;
        }
        ans = (ans+mod)%mod;
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,ans);
    }
    return 0;
}