40、标准基本边界条件在纳维-斯托克斯方程有限元公式化中的应用

标准基本边界条件在纳维-斯托克斯方程有限元公式化中的应用

1 纳维-斯托克斯方程简介

纳维-斯托克斯方程是描述不可压缩流体流动的核心方程之一。它包含了流体的动量守恒和质量守恒两部分，分别由以下两个方程表示：

[
\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} - \sigma) - \rho \mathbf{f} = 0
]

[
\nabla \cdot \mathbf{u} = 0
]

其中，$\rho$ 是流体密度，$\mathbf{u}$ 是流体速度，$\mathbf{f}$ 是外力，$\sigma$ 是应力张量。这两个方程共同描述了流体在时间和空间上的演化规律。

2 边界条件的重要性

在求解纳维-斯托克斯方程时，边界条件的选择至关重要。合理的边界条件不仅能保证解的存在性和唯一性，还能提高数值解的精度和稳定性。标准基本边界条件是有限元方法中最常用的边界条件类型，它们主要用于固定流体的速度和压力。

3 标准基本边界条件的定义

3.1 速度边界条件

速度边界条件通常采用狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary conditions），即在边界上指定流体的速度值。例如，在固体壁面上，流体的速度通常为零（无滑移条件）：

[
\mathbf{u} = \mathbf{0} \quad \text{on} \quad \Gamma