24、单元矩阵和向量及其组装到全局方程系统

单元矩阵和向量及其组装到全局方程系统

1 单元矩阵和向量的概念

在有限元方法（FEM）中，单元矩阵和向量是构建全局方程系统的基础。单元矩阵主要包括单元刚度矩阵、质量矩阵等，而单元向量则包括单元载荷向量等。这些矩阵和向量反映了单元在局部坐标系中的物理特性，是有限元分析中至关重要的组成部分。

1.1 单元刚度矩阵

单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）是描述单元在受力变形后恢复力的能力的矩阵。它可以通过单元的几何形状、材料属性和形状函数来计算。具体的计算公式如下：

[ [K^e] = \int_{\Omega^e} B^T D B \, d\Omega ]

其中：
- ( B ) 是应变-位移矩阵；
- ( D ) 是材料的弹性矩阵；
- ( \Omega^e ) 是单元的积分区域。

1.2 单元质量矩阵

单元质量矩阵（Element Mass Matrix）描述了单元的质量分布情况。它可以分为集中质量矩阵和一致质量矩阵两种类型。集中质量矩阵将单元的质量集中在节点上，而一致质量矩阵则更准确地反映了单元的质量分布。

[ [M^e] = \rho \int_{\Omega^e} N^T N \, d\Omega ]

其中：
- ( \rho ) 是材料的密度；
- ( N ) 是形状函数矩阵。

2 组装到全局方程系统

将各个单元的局部矩阵和向量组装成全局方程系统是有限元方法的关键步骤之一。全局方程系统能够完整地描述整个结构的力学行为。组装过程主