31、单元矩阵和向量及其组装到全局方程系统

单元矩阵和向量及其组装到全局方程系统

1. 引言

在有限元方法中，单元矩阵和向量的计算是核心步骤之一。它们描述了单元内部的物理行为，并通过组装过程将这些局部信息汇总到全局方程系统中。这一步骤对于准确求解复杂的工程问题至关重要。本文将详细介绍单元矩阵和向量的构造，以及如何将其组装到全局方程系统中，帮助读者理解和掌握这一关键技术。

2. 单元矩阵和向量的构造

2.1 单元刚度矩阵

单元刚度矩阵 ( \mathbf{K}^e ) 描述了单元内部的刚度特性，它是通过积分单元的形状函数和相应的物理属性计算得到的。具体公式如下：

[
\mathbf{K}^e_{ij} = \int_{\Omega^e} \mathbf{B}_i^T \mathbf{D} \mathbf{B}_j \, d\Omega
]

其中：
- ( \mathbf{B}_i ) 和 ( \mathbf{B}_j ) 是形状函数的导数矩阵。
- ( \mathbf{D} ) 是材料的弹性矩阵。

2.2 单元质量矩阵

单元质量矩阵 ( \mathbf{M}^e ) 描述了单元内部的质量分布，它同样通过积分计算得到：

[
\mathbf{M}^e_{ij} = \int_{\Omega^e} \rho \mathbf{N}_i^T \mathbf{N}_j \, d\Omega
]

其中：
- ( \mathbf{N}_i ) 和 ( \mathbf{N}_j ) 是形状函数矩阵。
- ( \rh