epsilon-约束方法

$\epsilon$-约束方法（这样GUROBI也能解多目标问题了！）

一般解决多目标优化问题的算法都是NSGA-II算法、MOEA-D算法等多目标智能算法。采用Gurobi精确求解的方法往往难以求出pareto最优解，只能通过对多个目标进行加权的方式求解。今天我们学习一种方法，借助它我们也可以使用Gurobi等求解工具求解多目标优化算法，且其求解效果比加权法更好。

$\epsilon$-约束方法简介

$\epsilon$-约束方法是一种多目标优化算法。它基于约束优化的思想，通过引入一个参数$\epsilon$来控制目标函数的权重，从而保证满足约束条件的前提下，寻找到最优解的近似解集。

通过选取一个主目标函数，将其余目标函数转化为约束，从而计算每个子优化目标，得到帕累托解集。

过程

针对一个多目标优化问题：
m i n { f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) } h ( x ) = 0 g ( x ) ≤ 0 min \{f_1(x),f_2(x),f_3(x)\} \\ h(x)=0 \\ g(x)\leq 0 min{f1​(x),f2​(x),f3​(x)}h(x)=0g(x)≤0

使用ε约束算法转化问题为：
$$\begin{gathered} min{f}_1(x) \\ {f}_2(x)\le {ϵ}_2,\cdots ,f_n(x)\le {ϵ}_n \\ h(x)=0 \\ g(x)\le 0 \end{gathered}$$
其中的每个参数${ϵ}_2,{ϵ}_3,\cdots ,{ϵ}_n$通过计算payoff矩阵得到。

payoff的计算过程：

1. 求解出第i个目标函数的最优值$f_i(x_i^{\ast })$，得到其最优解$x_i^{\ast }$；

2. 将$x_i^{\ast }$代入其他目标函数得到 { f 1 ( x i ∗ ) , f 2 ( x i ∗ ) , ⋯   , f n ( x i ∗ ) } \{f_1(x_i^*),f_2(x_i^*),\cdots,f_n(x_i^*)\} {f1​(xi∗​),f2​(xi∗​),⋯,fn​(xi∗​)}；

3. 对全部目标函数按照上述流程求解，得到payoff table矩阵如下：
   $$\left[\begin{array}{ccccc}{f}_1(x_1^{\ast })& \cdots & f_i(x_1^{\ast })& \cdots & f_n(x_1^{\ast })\\ ⋮& \ddots & & & ⋮\\ f_1(x_i^{\ast })& \cdots & f_i(x_i^{\ast })& \cdots & f_n(x_i^{\ast })\\ ⋮& \ddots & & & ⋮\\ f_1(x_n^{\ast })& \cdots & f_i(x_n^{\ast })& \cdots & f_n(x_n^{\ast })\end{array}\right]$$

该方法本质上与网格搜索法相同。得到了payoff矩阵之后，可以求出每个目标的最优值和最劣值（就是每个目标维度的最大和最小值）。记为最优解(U)和最劣解(SN)$f_i^U=f_i(x_i^{\ast })$,$f_i^{SN}=f_i(x_j^{\ast })$。

选择一个主目标函数$f_k(x)$。

对于主目标函数外的目标函数$f_i(x)$，设置一个网格化分数$q_{ij}∈{1,2,\cdots,q_i,max} $。

由此计算除了主目标函数外的其余目标函数的ε约束如下：
$${ϵ}_{ij}=f_i^{SN}-\frac{(f_i^{SN}-f_i^U)}{q_{ij}}\cdot jj=1,2,...,q_{i,max}$$
得到每个优化子问题如下：
$$\begin{gathered} min{f}_k(x) \\ s.t.f_1(x)\le {ϵ}_{1j},f_2(x)\le {ϵ}_{1l},f_n(x)\le {ϵ}_{1m},h(x)=0,g(x)\le 0 \end{gathered}$$
其中,$j=1,2,\cdots ,q_{1,max};l=1,2,\cdots ,q_{2,max};\cdots ;m=1,2,\cdots ,q_{n,max};$

每次求出一个最优解，若在可行域内则加入帕累托解集，若不在可行域内则丢弃。

例子

$$\begin{gathered} min{f}_1(x)=x_2-x_1 \\ min{f}_2(x)=x_1+x_2 \\ s.t.x_1^2-2x_1+1\le x_2 \\ 0\le x_1\le 1 \\ 0\le x_2\le 1 \end{gathered}$$

使用python+gurobi求解代码如下：

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time    : 2024/3/3 11:35
# @Author  : TUUG
# @Email   : tr6666666@qq.com
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import gurobipy as gp

def f1(constraint=None):
    model = gp.Model()
    x1 = model.addVar(name="X1",vtype=gp.GRB.CONTINUOUS,lb=0,ub=1)
    x2 = model.addVar(name="X2",vtype=gp.GRB.CONTINUOUS,lb=0,ub=1)
    # 添加约束
    model.addConstr(x1*x1-2*x1+1<=x2)
    if constraint is not None:
        model.addConstr(x1+x2<=constraint)
    # 定义目标函数
    model.setObjective(x2-x1, sense = gp.GRB.MINIMIZE)
    model.update()
    # 求解模型
    model.optimize()
    return x1.x,x2.x
    
def f2():
    # 创建模型
    m2 = gp.Model("f2_optimization")
    # 定义变量
    x1 = m2.addVar(name="X1",vtype=gp.GRB.CONTINUOUS,lb=0,ub=1)
    x2 = m2.addVar(name="X2",vtype=gp.GRB.CONTINUOUS,lb=0,ub=1)
    # 添加约束
    m2.addConstr(x1*x1-2*x1+1<=x2)
    # model.addConstr(x2-x1>=cons)
    # 定义目标函数
    m2.setObjective(x2+x1, sense = gp.GRB.MINIMIZE)
    # 求解模型
    m2.optimize()
    return x1.x,x2.x

f11,f12 = f1()
f21,f22 = f2()
f1_min = f12-f11
f2_max = f11+f12
f2_min = f21+f22
f1_max = f22-f21
print('--------------')
print(f2_min,f2_max)
soultion_pool = []
q_n =10
for q in range(q_n):
    constraint = f2_max-(f2_max-f2_min)/q_n*q
    # constraint = np.linspace(f2_min,f2_max,10)[q]
    f11,f12 = f1(constraint=constraint)
    soultion_pool.append([f12-f11,f11+f12])
print(soultion_pool)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
pareto_front_solutions = np.array(soultion_pool)

# 绘制 Pareto 前沿解
plt.scatter(pareto_front_solutions[:, 0], pareto_front_solutions[:, 1], label='Pareto Front')
plt.xlabel('f1(x)')
plt.ylabel('f2(x)')
plt.title('Pareto Front for Multi-objective Optimization')
plt.legend()
plt.show()

求解结果展示如下
网格化分数取10时：

网格化分数取20时帕累托前沿：

网格化分数取100时帕累托前沿：

可以看到，这个方法有一个很好的性质，就是可以通过增大网格化分数来改善求解结果，使其更接近真实帕累托前沿。如果求解时间过长可以减小网格化分数来缩短求解时间。

参考文献

[1] Ismail-Yahaya A, Messac A. Effective generation of the Pareto frontier using the normal constraint method[C]//40th AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit. 2002: 178.
[2] Fan Z, Li W, Cai X, et al. An improved epsilon constraint-handling method in MOEA/D for CMOPs with large infeasible regions[J]. Soft Computing, 2019, 23: 12491-12510.
[3] Yang Z, Cai X, Fan Z. Epsilon constrained method for constrained multi-objective optimization problems: some preliminary results[C]//Proceedings of the companion publication of the 2014 annual conference on genetic and evolutionary computation. 2014: 1181-1186.
[4] 【多目标规划问题求解】ε-约束算法_约束法多目标规划问题求解-优快云博客