11、凸集与凸函数的深入解析

凸集与凸函数的深入解析

1. 凸集的运算

凸集在标量乘法和翻译操作下具有封闭性。具体来说：
- 设 (C) 是实线性空间的一个子集，对于 (r \in R)，(hr(C) = rC = {rx | x \in C}) 是凸集；对于 (b \in L)，(tb(C) = C + b = {x + b | x \in C}) 也是凸集。
- 定理 4.19 ：若 (C1) 和 (C2) 是实线性空间 (L) 的凸子集，它们的闵可夫斯基和 (C1 + C2) 是 (L) 的凸子集。
- 证明 ：设 (x, y \in C1 + C2)，则 (x = x1 + x2)，(y = y1 + y2)，其中 (x1, y1 \in C1)，(x2, y2 \in C2)。对于 (c \in [0, 1])，有 ((1 - a)x + ay = (1 - a)(x1 + x2) + a(y1 + y2) = (1 - a)x1 + ay1 + (1 - a)x2 + ay2 \in C1 + C2)，因为 (C1) 和 (C2) 是凸集，所以 ((1 - a)x1 + ay1 \in C1)，((1 - a)x2 + ay2 \in C2)。
- 推论 4.4 ：若 (C1, \cdots, Cm) 是实线性空间 (L) 的凸子集，那么 (r1C1 + \cdots + rmCm) 是凸集。
- 定理 4.20 ：设 (C) 是实线性空间 (L) 的凸子集，若 (r1, r2 \in R\geq0)，则 ((r1 + r2)C = r1