4、人工智能与凸优化技术解析

人工智能与凸优化技术解析

1. 生成对抗网络（GAN）概述

生成对抗网络（GAN）是一种无监督学习算法，旨在创建与训练数据相似的新数据样本。它将训练生成模型的问题构建为两个监督学习子模型，具体如下：
- 生成器模型 ：从随机输入生成新的可信样本。
- 判别器模型 ：将样本分类为真实（来自训练数据）或虚假（生成的）。

1.1 生成器模型

生成器模型接收随机向量作为输入，并生成与训练样本具有相同维度的样本（如图像、文本）。其目标是生成难以被判别为虚假的样本。输入向量通常从高斯分布中随机采样。训练后，生成器模型形成训练数据（真实）分布的潜在等效表示。

1.2 判别器模型

判别器模型将训练样本（真实）和生成样本（虚假）作为输入空间，将类别（真实或虚假）作为输出空间。其目标是尽可能准确地对它们进行分类。

1.3 GAN的数学表达

GAN的数学表达式可以表示为：
[
\min_{G} \max_{D} V(G,D) = E_{x \sim p_{data}(x)} \log D(x) + E_{z \sim p_{g}(z)} \log(1 - D(G(z)))
]
其中，$G$ 和 $D$ 分别表示生成器和判别器模型，$x$ 是训练样本，其分布为 $p_{data}(x)$，$z$ 是随机输入向量，其分布为 $p_{g}(z)$。因此，$G(z)$ 是生成的虚假样本，$x$ 是真实样本。$D(x)$ 可以理解为真实样本的概率。

1.4 优化问题